Номер 22.19, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.19, страница 74.

22.19 Вычислите:

a) $ \sin^2 10^\circ + \sin^2 130^\circ + \sin^2 110^\circ $;

б) $ \cos^2 35^\circ + \cos^2 25^\circ - \cos^2 5^\circ $.

а) Вычислить $ \sin^2 10^\circ + \sin^2 130^\circ + \sin^2 110^\circ $.

Для решения воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в выражении:

$ \sin^2 10^\circ = \frac{1 - \cos(2 \cdot 10^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos(20^\circ)}{2} $

$ \sin^2 130^\circ = \frac{1 - \cos(2 \cdot 130^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos(260^\circ)}{2} $

$ \sin^2 110^\circ = \frac{1 - \cos(2 \cdot 110^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos(220^\circ)}{2} $

Теперь сложим полученные дроби:

$ \frac{1 - \cos(20^\circ)}{2} + \frac{1 - \cos(260^\circ)}{2} + \frac{1 - \cos(220^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos(20^\circ) + 1 - \cos(260^\circ) + 1 - \cos(220^\circ)}{2} $

$ = \frac{3 - (\cos(20^\circ) + \cos(260^\circ) + \cos(220^\circ))}{2} $

Рассмотрим сумму косинусов в скобках. Сгруппируем $ \cos(260^\circ) $ и $ \cos(220^\circ) $ и применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $:

$ \cos(260^\circ) + \cos(220^\circ) = 2\cos\frac{260^\circ+220^\circ}{2}\cos\frac{260^\circ-220^\circ}{2} = 2\cos\frac{480^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ}{2} = 2\cos(240^\circ)\cos(20^\circ) $

Вычислим значение $ \cos(240^\circ) $. Используем формулу приведения: $ \cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} $.

Подставим это значение обратно:

$ 2\cos(240^\circ)\cos(20^\circ) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \cos(20^\circ) = -\cos(20^\circ) $

Теперь вся сумма косинусов равна:

$ \cos(20^\circ) + (\cos(260^\circ) + \cos(220^\circ)) = \cos(20^\circ) - \cos(20^\circ) = 0 $

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{3 - 0}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 $

Ответ: 1.5

б) Вычислить $ \cos^2 35^\circ + \cos^2 25^\circ - \cos^2 5^\circ $.

Для решения воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.

Применим эту формулу к каждому члену выражения:

$ \cos^2 35^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 35^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos(70^\circ)}{2} $

$ \cos^2 25^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 25^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos(50^\circ)}{2} $

$ \cos^2 5^\circ = \frac{1 + \cos(2 \cdot 5^\circ)}{2} = \frac{1 + \cos(10^\circ)}{2} $

Подставим эти выражения в исходное:

$ \frac{1 + \cos(70^\circ)}{2} + \frac{1 + \cos(50^\circ)}{2} - \frac{1 + \cos(10^\circ)}{2} $

$ = \frac{(1 + \cos(70^\circ)) + (1 + \cos(50^\circ)) - (1 + \cos(10^\circ))}{2} $

$ = \frac{1 + \cos(70^\circ) + \cos(50^\circ) - \cos(10^\circ)}{2} $

Рассмотрим сумму $ \cos(70^\circ) + \cos(50^\circ) $. Применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $:

$ \cos(70^\circ) + \cos(50^\circ) = 2\cos\frac{70^\circ+50^\circ}{2}\cos\frac{70^\circ-50^\circ}{2} = 2\cos\frac{120^\circ}{2}\cos\frac{20^\circ}{2} = 2\cos(60^\circ)\cos(10^\circ) $

Так как $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(10^\circ) = \cos(10^\circ) $

Теперь подставим этот результат в числитель дроби:

$ 1 + (\cos(70^\circ) + \cos(50^\circ)) - \cos(10^\circ) = 1 + \cos(10^\circ) - \cos(10^\circ) = 1 $

Тогда все выражение равно:

$ \frac{1}{2} = 0.5 $

Ответ: 0.5