Номер 22.31, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.31, страница 75.

22.31 а) $3 \sin x + 4 \cos x$;

б) $5 \cos x - 12 \sin x$;

в) $7 \sin x - 24 \cos x$;

г) $8 \cos x + 15 \sin x$.

а) $3 \sin x + 4 \cos x$

Для нахождения множества значений выражения вида $a \sin x + b \cos x$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Преобразуем выражение, вынеся за скобки множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. В данном случае $a = 3$, $b = 4$.

Вычислим $R$: $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Вынесем 5 за скобки: $3 \sin x + 4 \cos x = 5 \left(\frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x\right)$.

Так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$, то существует такой угол $\alpha$, что $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. Подставив эти значения, получим: $5(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha)$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(x+\alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$, получаем: $5 \sin(x + \alpha)$.

Поскольку множество значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(x + \alpha) \le 1$, то множество значений исходного выражения — это отрезок $[-5, 5]$. Наибольшее значение выражения равно 5, а наименьшее равно -5.

Ответ: Наибольшее значение равно 5, наименьшее значение равно -5.

б) $5 \cos x - 12 \sin x$

Применим тот же метод. Перепишем выражение в виде $-12 \sin x + 5 \cos x$. Здесь $a = -12$, $b = 5$.

Найдем множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Вынесем 13 за скобки: $-12 \sin x + 5 \cos x = 13 \left(-\frac{12}{13} \sin x + \frac{5}{13} \cos x\right)$.

Пусть существует угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$ и $\sin \alpha = \frac{5}{13}$. Тогда выражение в скобках можно записать как $\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$.

Это соответствует формуле синуса суммы $\sin(x + \alpha)$. Таким образом, исходное выражение равно $13 \sin(x + \alpha)$.

Так как $-1 \le \sin(x + \alpha) \le 1$, то множество значений выражения $13 \sin(x + \alpha)$ есть отрезок $[-13, 13]$. Наибольшее значение выражения равно 13, а наименьшее равно -13.

Ответ: Наибольшее значение равно 13, наименьшее значение равно -13.

в) $7 \sin x - 24 \cos x$

Воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражение имеет вид $a \sin x + b \cos x$, где $a = 7$ и $b = -24$.

Вычислим коэффициент $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.

Преобразуем выражение: $7 \sin x - 24 \cos x = 25 \left(\frac{7}{25} \sin x - \frac{24}{25} \cos x\right)$.

Введем вспомогательный угол $\alpha$, такой, что $\cos \alpha = \frac{7}{25}$ и $\sin \alpha = -\frac{24}{25}$. Такой угол существует, так как $(\frac{7}{25})^2 + (-\frac{24}{25})^2 = 1$.

Тогда выражение в скобках преобразуется к виду $\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$, что по формуле синуса суммы равно $\sin(x + \alpha)$.

Таким образом, исходное выражение равно $25 \sin(x + \alpha)$. Поскольку функция $\sin(x + \alpha)$ принимает значения на отрезке $[-1, 1]$, то выражение $25 \sin(x + \alpha)$ принимает значения на отрезке $[-25, 25]$. Наибольшее значение выражения равно 25, а наименьшее равно -25.

Ответ: Наибольшее значение равно 25, наименьшее значение равно -25.

г) $8 \cos x + 15 \sin x$

Перепишем выражение в виде $15 \sin x + 8 \cos x$. Здесь $a = 15$, $b = 8$.

Вычислим $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

Вынесем 17 за скобки: $15 \sin x + 8 \cos x = 17 \left(\frac{15}{17} \sin x + \frac{8}{17} \cos x\right)$.

Введем вспомогательный угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = \frac{15}{17}$ и $\sin \alpha = \frac{8}{17}$. Тогда выражение в скобках станет $\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$.

Используя формулу синуса суммы, получим $\sin(x + \alpha)$. Следовательно, исходное выражение равно $17 \sin(x + \alpha)$.

Поскольку $-1 \le \sin(x + \alpha) \le 1$, то множество значений выражения $17 \sin(x + \alpha)$ есть отрезок $[-17, 17]$. Наибольшее значение выражения равно 17, а наименьшее равно -17.

Ответ: Наибольшее значение равно 17, наименьшее значение равно -17.