Номер 24.31, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§24. Предел последовательности. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 24.31, страница 83.

24.31 a) $x_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2};$

Б) $x_n = \frac{1 + 2n + n^2}{n^2};$

В) $x_n = \frac{3 - n^2}{n^2};$

Г) $x_n = \frac{3n - 4 - 2n^2}{n^2}.$

а) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2}$ при $n \to \infty$, можно преобразовать выражение, разделив дробь на два слагаемых:

$x_n = \frac{2n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2} = 2 - \frac{1}{n^2}$

Теперь найдем предел:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{1}{n^2}\right)$

Поскольку при неограниченном возрастании $n$ значение дроби $\frac{1}{n^2}$ стремится к нулю ($\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$), предел последовательности равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 2 - 0 = 2$

Ответ: $2$

б) Для последовательности $x_n = \frac{1 + 2n + n^2}{n^2}$, заметим, что числитель является формулой квадрата суммы: $1 + 2n + n^2 = (1+n)^2$.

Тогда выражение для $x_n$ можно переписать в виде:

$x_n = \frac{(1+n)^2}{n^2} = \left(\frac{1+n}{n}\right)^2 = \left(\frac{1}{n} + \frac{n}{n}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$

Найдем предел этой последовательности:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$

Так как $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, получаем:

$\lim_{n \to \infty} x_n = (1 + 0)^2 = 1^2 = 1$

Ответ: $1$

в) Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{3 - n^2}{n^2}$. Как и в пункте а), разделим дробь на два слагаемых:

$x_n = \frac{3}{n^2} - \frac{n^2}{n^2} = \frac{3}{n^2} - 1$

Найдем предел при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n^2} - 1\right)$

Поскольку $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0$, то:

$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 - 1 = -1$

Ответ: $-1$

г) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{3n - 4 - 2n^2}{n^2}$ при $n \to \infty$, разделим каждый член числителя и знаменателя на старшую степень $n$, то есть на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n - 4 - 2n^2}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n^2} - \frac{4}{n^2} - \frac{2n^2}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n} - \frac{4}{n^2} - 2}{1}$

При $n \to \infty$ дроби $\frac{3}{n}$ и $\frac{4}{n^2}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{0 - 0 - 2}{1} = -2$

Ответ: $-2$