Номер 25.2, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 25.2, страница 85.

25.2 Найдите сумму геометрической прогрессии:

a) 32, 16, 8, 4, 2, ...;

б) 24, -8, $\frac{8}{3}$, $-\frac{8}{9}$, ...;

в) 27, 9, 3, 1, $\frac{1}{3}$, ...;

г) 18, -6, 2, $-\frac{2}{3}$, ....

а) В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = 32$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставляя значения, получаем: $S = \frac{32}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{32}{\frac{1}{2}} = 64$.
Ответ: 64.

б) Первый член прогрессии $b_1 = 24$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$. Модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, следовательно, это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Ее сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставим значения: $S = \frac{24}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{24}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{24}{\frac{4}{3}} = 24 \cdot \frac{3}{4} = 18$.
Ответ: 18.

в) В этой геометрической прогрессии первый член $b_1 = 27$. Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$. Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, мы можем найти сумму по формуле для бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Выполним подстановку: $S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{2} = 40,5$.
Ответ: 40,5.

г) Первый член данной прогрессии $b_1 = 18$. Знаменатель прогрессии $q$ равен $q = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$. Модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, значит, прогрессия является бесконечно убывающей. Для нахождения ее суммы используем формулу $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставим значения: $S = \frac{18}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{18}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{4}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13,5$.
Ответ: 13,5.