Номер 26.8, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.8, страница 89.

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $y = h(x)$, $x \in \mathbb{R}$, обладающей указанными свойствами:

26.8 а) $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 4$ и функция возрастает;

б) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ и функция убывает;

в) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -2$ и функция возрастает;

г) $\lim_{x \to +\infty} h(x) = -3$ и функция убывает.

а) Требуется построить эскиз графика возрастающей функции $h(x)$, для которой $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 4$.

Условие $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 4$ означает, что прямая $y=4$ является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x$, стремящемся к плюс бесконечности. Поскольку функция возрастает, её значения должны увеличиваться, приближаясь к асимптоте снизу. Это значит, что для любого значения $x$ будет выполняться неравенство $h(x) < 4$.

Примером такой функции может служить $h(x) = 4 - e^{-x}$. Эта функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Её производная $h'(x) = e^{-x}$ всегда положительна, следовательно, функция является возрастающей на всей числовой прямой. Предел функции при $x \to +\infty$ равен $\lim_{x \to +\infty} (4 - e^{-x}) = 4 - 0 = 4$.

Эскиз графика представляет собой кривую, которая монотонно возрастает. При $x \to -\infty$ значения функции стремятся к $-\infty$. С увеличением $x$ график поднимается и при $x \to +\infty$ асимптотически приближается к прямой $y=4$ снизу.

Ответ: График — возрастающая кривая, имеющая горизонтальную асимптоту $y=4$ при $x \to +\infty$, к которой она приближается снизу.

б) Требуется построить эскиз графика убывающей функции $h(x)$, для которой $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$.

Условие $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ означает, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности. Поскольку функция убывает, её значения должны уменьшаться при увеличении $x$. Это значит, что при $x \to -\infty$ функция подходит к своему пределу $5$ сверху. При дальнейшем увеличении $x$ значения функции будут становиться всё меньше. Таким образом, $h(x) < 5$ для всех $x$ неверно, наоборот, функция подходит к асимптоте сверху, но так как она убывает, то при $x \to -\infty$ она подходит к 5 снизу. Примером, $h(x) = 5 - e^x$. Производная $h'(x) = -e^x < 0$, функция убывает. $\lim_{x \to -\infty} (5 - e^x) = 5-0=5$.

Примером такой функции может служить $h(x) = 5 - e^{x}$. Её производная $h'(x) = -e^{x}$ всегда отрицательна, следовательно, функция является убывающей. Предел функции при $x \to -\infty$ равен $\lim_{x \to -\infty} (5 - e^{x}) = 5 - 0 = 5$.

Эскиз графика представляет собой кривую, которая монотонно убывает. При $x \to -\infty$ кривая асимптотически приближается к прямой $y=5$ снизу. С увеличением $x$ значения функции уменьшаются и при $x \to +\infty$ стремятся к $-\infty$.

Ответ: График — убывающая кривая, имеющая горизонтальную асимптоту $y=5$ при $x \to -\infty$, к которой она приближается снизу.

в) Требуется построить эскиз графика возрастающей функции $h(x)$, для которой $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -2$.

Условие $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -2$ означает, что прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. Поскольку функция возрастает, её значения увеличиваются с ростом $x$. Это означает, что при $x \to -\infty$ функция подходит к своему наименьшему значению (пределу), то есть приближается к асимптоте $y=-2$ сверху. Таким образом, $h(x) > -2$ для всех $x$.

Примером такой функции может служить $h(x) = -2 + e^{x}$. Её производная $h'(x) = e^{x}$ всегда положительна, следовательно, функция является возрастающей. Предел функции при $x \to -\infty$ равен $\lim_{x \to -\infty} (-2 + e^{x}) = -2 + 0 = -2$.

Эскиз графика представляет собой кривую, которая монотонно возрастает. При $x \to -\infty$ кривая асимптотически приближается к прямой $y=-2$ сверху. С увеличением $x$ значения функции возрастают и при $x \to +\infty$ стремятся к $+\infty$.

Ответ: График — возрастающая кривая, имеющая горизонтальную асимптоту $y=-2$ при $x \to -\infty$, к которой она приближается сверху.

г) Требуется построить эскиз графика убывающей функции $h(x)$, для которой $\lim_{x \to +\infty} h(x) = -3$.

Условие $\lim_{x \to +\infty} h(x) = -3$ означает, что прямая $y=-3$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$. Поскольку функция убывает, её значения уменьшаются с ростом $x$ и стремятся к своему пределу $-3$. Это означает, что функция приближается к асимптоте $y=-3$ сверху, и для всех $x$ выполняется неравенство $h(x) > -3$.

Примером такой функции может служить $h(x) = -3 + e^{-x}$. Её производная $h'(x) = -e^{-x}$ всегда отрицательна, следовательно, функция является убывающей. Предел функции при $x \to +\infty$ равен $\lim_{x \to +\infty} (-3 + e^{-x}) = -3 + 0 = -3$.

Эскиз графика представляет собой кривую, которая монотонно убывает. При $x \to -\infty$ значения функции стремятся к $+\infty$. С увеличением $x$ график опускается и при $x \to +\infty$ асимптотически приближается к прямой $y=-3$ сверху.

Ответ: График — убывающая кривая, имеющая горизонтальную асимптоту $y=-3$ при $x \to +\infty$, к которой она приближается сверху.