Номер 26.22, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.22, страница 93.

26.22 а) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 - x}$;

б) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{2 + x}$;

В) $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$;

Г) $\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 - 9}$.

а)

Найдем предел функции $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 - x}$. При прямой подстановке предельного значения $x=0$ в числитель и знаменатель дроби, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{0^2}{0^2 - 0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия этой неопределенности необходимо упростить выражение. Вынесем в знаменателе общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 - x = x(x-1)$

Теперь предел можно переписать в виде:

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x(x-1)}$

Поскольку $x$ стремится к нулю, но не равен ему ($x \neq 0$), мы можем сократить дробь на $x$:

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x-1}$

Теперь можно выполнить подстановку предельного значения $x=0$ в упрощенное выражение:

$\frac{0}{0-1} = \frac{0}{-1} = 0$

Ответ: $0$

б)

Найдем предел функции $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{2 + x}$. Прямая подстановка значения $x=-2$ приводит к неопределенности $\frac{0}{0}$:

$\frac{(-2)^2 - 4}{2 + (-2)} = \frac{4-4}{0} = \frac{0}{0}$

Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$

Подставим разложение в исходный предел:

$\lim_{x \to -2} \frac{(x-2)(x+2)}{2+x}$

Так как $x \to -2$, но $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+2)$:

$\lim_{x \to -2} (x-2)$

Теперь подставим предельное значение $x=-2$:

$-2 - 2 = -4$

Ответ: $-4$

в)

Найдем предел функции $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$. При подстановке $x=5$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{5^2 - 25}{5 - 5} = \frac{25-25}{0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$

Перепишем предел с разложенным числителем:

$\lim_{x \to 5} \frac{(x-5)(x+5)}{x - 5}$

Поскольку $x$ стремится к 5, но не равен 5, множитель $(x-5)$ не равен нулю, и мы можем на него сократить:

$\lim_{x \to 5} (x+5)$

Теперь подставляем значение $x=5$ в полученное выражение:

$5+5 = 10$

Ответ: $10$

г)

Найдем предел функции $\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 - 9}$. Прямая подстановка $x=-3$ дает неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{3 + (-3)}{(-3)^2 - 9} = \frac{0}{9-9} = \frac{0}{0}$

Чтобы раскрыть неопределенность, разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$

Подставим разложение в знаменатель предела:

$\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{(x-3)(x+3)}$

Так как $x \to -3$, но $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+3)$:

$\lim_{x \to -3} \frac{1}{x-3}$

Теперь подставим предельное значение $x=-3$ в итоговое выражение:

$\frac{1}{-3-3} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$