Номер 21.23, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.23, страница 68.

21.23 Вычислите (с помощью формул понижения степени):

а) $ \sin 22.5^\circ $;

б) $ \cos 22.5^\circ $;

в) $ \sin \frac{3\pi}{8} $;

г) $ \cos \frac{3\pi}{8} $.

а) Для вычисления $ \sin{22,5^\circ} $ воспользуемся формулой понижения степени для синуса, которая выводится из формулы косинуса двойного угла: $ \sin^2{\alpha} = \frac{1 - \cos{2\alpha}}{2} $. Из этой формулы следует формула половинного угла: $ \sin{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos{2\alpha}}{2}} $.

В нашем случае $ \alpha = 22,5^\circ $, следовательно, $ 2\alpha = 2 \cdot 22,5^\circ = 45^\circ $. Угол $ 22,5^\circ $ находится в первой координатной четверти, поэтому его синус является положительным числом. Значит, мы выбираем знак «+» перед корнем.

$ \sin{22,5^\circ} = \sqrt{\frac{1 - \cos{45^\circ}}{2}} $.

Известно, что $ \cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Подставим это значение в нашу формулу:

$ \sin{22,5^\circ} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} $

б) Для вычисления $ \cos{22,5^\circ} $ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $ \cos^2{\alpha} = \frac{1 + \cos{2\alpha}}{2} $, из которой следует формула половинного угла: $ \cos{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos{2\alpha}}{2}} $.

Как и в предыдущем пункте, $ \alpha = 22,5^\circ $ и $ 2\alpha = 45^\circ $. Угол $ 22,5^\circ $ находится в первой четверти, поэтому его косинус также положителен. Выбираем знак «+».

$ \cos{22,5^\circ} = \sqrt{\frac{1 + \cos{45^\circ}}{2}} $.

Подставляем значение $ \cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ \cos{22,5^\circ} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $

в) Для вычисления $ \sin{\frac{3\pi}{8}} $ применим ту же формулу, что и в пункте а): $ \sin{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos{2\alpha}}{2}} $.

В этом случае $ \alpha = \frac{3\pi}{8} $, тогда $ 2\alpha = 2 \cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} $. Угол $ \frac{3\pi}{8} $ находится в первой четверти (поскольку $ 0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2} $), поэтому его синус положителен. Выбираем знак «+».

$ \sin{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 - \cos{\frac{3\pi}{4}}}{2}} $.

Значение косинуса для $ \frac{3\pi}{4} $ равно $ \cos{\frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Подставляем его в формулу:

$ \sin{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} $

г) Для вычисления $ \cos{\frac{3\pi}{8}} $ применим ту же формулу, что и в пункте б): $ \cos{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos{2\alpha}}{2}} $.

Здесь также $ \alpha = \frac{3\pi}{8} $ и $ 2\alpha = \frac{3\pi}{4} $. Угол $ \frac{3\pi}{8} $ находится в первой четверти, поэтому его косинус положителен. Выбираем знак «+».

$ \cos{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 + \cos{\frac{3\pi}{4}}}{2}} $.

Подставляем значение $ \cos{\frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ \cos{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} $