Номер 21.22, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени - номер 21.22, страница 68.

Условие.

21.22 а) $1 + \sin \alpha = 2\cos^2 \left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right);$

б) $2\sin^2(45^\circ - \alpha) + \sin 2\alpha = 1;$

в) $1 - \sin \alpha = 2\sin^2 \left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right);$

г) $2\cos^2(45^\circ + \alpha) + \sin 2\alpha = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Докажем тождество $1 + \sin \alpha = 2\cos^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2})$.
Преобразуем правую часть, используя формулу понижения степени $2\cos^2 x = 1 + \cos(2x)$.
Пусть $x = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Тогда $2x = 2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ - \alpha$.
$2\cos^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 1 + \cos(90^\circ - \alpha)$.
По формуле приведения, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.
Следовательно, правая часть равна $1 + \sin \alpha$.
Так как правая часть равна левой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $2\sin^2(45^\circ - \alpha) + \sin 2\alpha = 1$.
Преобразуем левую часть. Используем формулу понижения степени $2\sin^2 x = 1 - \cos(2x)$.
Пусть $x = 45^\circ - \alpha$. Тогда $2x = 2(45^\circ - \alpha) = 90^\circ - 2\alpha$.
$2\sin^2(45^\circ - \alpha) = 1 - \cos(90^\circ - 2\alpha)$.
По формуле приведения, $\cos(90^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha$.
Подставим это в левую часть исходного равенства:
$(1 - \sin 2\alpha) + \sin 2\alpha = 1$.
Левая часть равна $1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество $1 - \sin \alpha = 2\sin^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2})$.
Преобразуем правую часть, используя формулу понижения степени $2\sin^2 x = 1 - \cos(2x)$.
Пусть $x = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Тогда $2x = 2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ - \alpha$.
$2\sin^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 1 - \cos(90^\circ - \alpha)$.
По формуле приведения, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.
Следовательно, правая часть равна $1 - \sin \alpha$.
Так как правая часть равна левой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Докажем тождество $2\cos^2(45^\circ + \alpha) + \sin 2\alpha = 1$.
Преобразуем левую часть. Используем формулу понижения степени $2\cos^2 x = 1 + \cos(2x)$.
Пусть $x = 45^\circ + \alpha$. Тогда $2x = 2(45^\circ + \alpha) = 90^\circ + 2\alpha$.
$2\cos^2(45^\circ + \alpha) = 1 + \cos(90^\circ + 2\alpha)$.
По формуле приведения, $\cos(90^\circ + 2\alpha) = -\sin 2\alpha$.
Подставим это в левую часть исходного равенства:
$(1 - \sin 2\alpha) + \sin 2\alpha = 1$.
Левая часть равна $1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.