Номер 21.15, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.15, страница 67.

21.15 a) $\frac{2}{\text{tg } t + \text{ctg } t}$

б) $\frac{2}{\text{tg } t - \text{ctg } t}$

а) Упростим выражение $ \frac{2}{\text{tg } t + \text{ctg } t} $. Для этого представим тангенс и котангенс через синус и косинус, используя формулы $ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} $ и $ \text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} $. Подставим эти определения в знаменатель дроби: $ \text{tg } t + \text{ctg } t = \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} $. Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin t \cos t $: $ \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cos t} $. Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $: $ \frac{1}{\sin t \cos t} $. Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь: $ \frac{2}{\frac{1}{\sin t \cos t}} = 2 \sin t \cos t $. Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2t) = 2 \sin t \cos t $, получаем итоговый результат.

Ответ: $ \sin(2t) $.

б) Упростим выражение $ \frac{2}{\text{tg } t - \text{ctg } t} $. Так же, как и в предыдущем пункте, заменим тангенс и котангенс: $ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} $ и $ \text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} $. Подставим в знаменатель: $ \text{tg } t - \text{ctg } t = \frac{\sin t}{\cos t} - \frac{\cos t}{\sin t} $. Приведем к общему знаменателю $ \sin t \cos t $: $ \frac{\sin^2 t - \cos^2 t}{\sin t \cos t} $. Вынесем минус за скобки в числителе: $ -(\cos^2 t - \sin^2 t) $. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t $. Тогда числитель равен $ -\cos(2t) $, а весь знаменатель: $ \frac{-\cos(2t)}{\sin t \cos t} $. Подставим это в исходное выражение: $ \frac{2}{\frac{-\cos(2t)}{\sin t \cos t}} = -\frac{2 \sin t \cos t}{\cos(2t)} $. В числителе используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2t) = 2 \sin t \cos t $: $ -\frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} $. Используя определение тангенса $ \text{tg}(2t) = \frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} $, получаем окончательный результат.

Ответ: $ -\text{tg}(2t) $.