Номер 21.12, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.12, страница 67.

21.12 а) Дано: $ \sin 2x = -\frac{3}{5}, \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4} $.

Вычислите: $ \cos x; \sin x; \operatorname{tg} x; \operatorname{ctg} x $.

б) Дано: $ \operatorname{tg} 2x = \frac{3}{4}, \pi < x < \frac{5\pi}{4} $.

Вычислите: $ \cos x; \sin x; \operatorname{tg} x; \operatorname{ctg} x $.

Упростите выражение:

а) Дано: $\sin 2x = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$.

1. Определим знаки тригонометрических функций для угла $x$. Неравенство $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$ означает, что угол $x$ находится во второй четверти. Во второй четверти $\sin x > 0$, а $\cos x < 0$.

2. Определим четверть для угла $2x$. Умножив неравенство для $x$ на 2, получим $\pi < 2x < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $2x$ находится в третьей четверти. В третьей четверти $\cos 2x < 0$.

3. Найдем $\cos 2x$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Так как $2x$ находится в третьей четверти, $\cos 2x$ отрицателен, поэтому $\cos 2x = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

4. Используем формулы понижения степени (или формулы двойного угла для косинуса):
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$.
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10}$.

5. Найдем $\cos x$ и $\sin x$, учитывая их знаки во второй четверти:
$\cos x = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.
$\sin x = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

6. Вычислим $\tg x$ и $\ctg x$:
$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{-\frac{1}{\sqrt{10}}} = -3$.
$\ctg x = \frac{1}{\tg x} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $\cos x = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\sin x = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\tg x = -3$, $\ctg x = -\frac{1}{3}$.

---

б) Дано: $\tg 2x = \frac{3}{4}$ и $\pi < x < \frac{5\pi}{4}$.

1. Определим знаки тригонометрических функций для угла $x$. Неравенство $\pi < x < \frac{5\pi}{4}$ означает, что угол $x$ находится в третьей четверти. В третьей четверти $\sin x < 0$, $\cos x < 0$, а $\tg x > 0$.

2. Используем формулу тангенса двойного угла: $\tg 2x = \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x}$.
Пусть $t = \tg x$. Тогда получаем уравнение:
$\frac{3}{4} = \frac{2t}{1 - t^2}$.
$3(1 - t^2) = 4(2t)$
$3 - 3t^2 = 8t$
$3t^2 + 8t - 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.
$t_1 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$.
$t_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

3. Так как угол $x$ находится в третьей четверти, $\tg x$ должен быть положительным. Следовательно, выбираем корень $t_2 = \frac{1}{3}$.
Итак, $\tg x = \frac{1}{3}$.
Отсюда сразу находим $\ctg x = \frac{1}{\tg x} = 3$.

4. Найдем $\cos x$, используя тождество $1 + \tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.
$\cos^2 x = \frac{1}{1 + \tg^2 x} = \frac{1}{1 + (\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}$.
Так как $x$ находится в третьей четверти, $\cos x$ отрицателен:
$\cos x = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

5. Найдем $\sin x$, используя определение тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
$\sin x = \tg x \cdot \cos x = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\cos x = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\sin x = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\tg x = \frac{1}{3}$, $\ctg x = 3$.