Номер 21.13, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.13, страница 67.

21.13 a) $\frac{\sin t}{2 \cos^2 \frac{t}{2}}$;

б) $\frac{\cos t}{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}}$;

В) $\frac{\sin 4t}{\cos 2t}$;

Г) $\frac{\cos 2t - \sin 2t}{\cos 4t}$.

а)

Упростим выражение $\frac{\sin t}{2 \cos^2 \frac{t}{2}}$.

Для числителя применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. В нашем случае, представив $t$ как $2 \cdot \frac{t}{2}$, получим:

$\sin t = \sin(2 \cdot \frac{t}{2}) = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$.

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}}$

Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе. Также сократим $\cos \frac{t}{2}$ (при условии, что $\cos \frac{t}{2} \neq 0$):

$\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}$

Используя определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем:

$\tan \frac{t}{2}$

Ответ: $\tan \frac{t}{2}$.

б)

Упростим выражение $\frac{\cos t}{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}}$.

Для числителя применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. В нашем случае, представив $t$ как $2 \cdot \frac{t}{2}$, получим:

$\cos t = \cos(2 \cdot \frac{t}{2}) = \cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2}$.

Подставим это выражение в числитель дроби:

$\frac{\cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}}$

Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2} = (\cos \frac{t}{2} - \sin \frac{t}{2})(\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2})$

Подставим разложение в дробь и сократим общий множитель $(\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2})$ (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{(\cos \frac{t}{2} - \sin \frac{t}{2})(\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2})}{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}} = \cos \frac{t}{2} - \sin \frac{t}{2}$

Ответ: $\cos \frac{t}{2} - \sin \frac{t}{2}$.

в)

Упростим выражение $\frac{\sin 4t}{\cos 2t}$.

Представим аргумент в числителе как $4t = 2 \cdot (2t)$ и применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$\sin 4t = \sin(2 \cdot 2t) = 2 \sin 2t \cos 2t$

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{2 \sin 2t \cos 2t}{\cos 2t}$

Сократим общий множитель $\cos 2t$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos 2t \neq 0$):

$2 \sin 2t$

Ответ: $2 \sin 2t$.

г)

Упростим выражение $\frac{\cos 2t - \sin 2t}{\cos 4t}$.

Представим аргумент в знаменателе как $4t = 2 \cdot (2t)$ и применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$:

$\cos 4t = \cos(2 \cdot 2t) = \cos^2 2t - \sin^2 2t$

Знаменатель является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^2 2t - \sin^2 2t = (\cos 2t - \sin 2t)(\cos 2t + \sin 2t)$

Подставим разложенное выражение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{\cos 2t - \sin 2t}{(\cos 2t - \sin 2t)(\cos 2t + \sin 2t)}$

Сократим общий множитель $(\cos 2t - \sin 2t)$ в числителе и знаменателе (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{1}{\cos 2t + \sin 2t}$

Ответ: $\frac{1}{\cos 2t + \sin 2t}$.