Номер 21.7, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.7, страница 66.

21.7 a) $\cos(2\alpha + 2\beta) = \cos^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha + \beta);$

б) $\sin(2\alpha + 2\beta) = 2\sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha + \beta).$

a) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть.

В выражении $cos(2\alpha + 2\beta)$ вынесем общий множитель 2 за скобки в аргументе функции:

$cos(2\alpha + 2\beta) = cos(2(\alpha + \beta))$

Далее применим формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$.

В данном случае, переменная $x$ соответствует выражению $(\alpha + \beta)$. Подставим его в формулу:

$cos(2(\alpha + \beta)) = cos^2(\alpha + \beta) - sin^2(\alpha + \beta)$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Докажем второе тождество, также преобразовав его левую часть.

В выражении $sin(2\alpha + 2\beta)$ вынесем общий множитель 2 за скобки в аргументе функции:

$sin(2\alpha + 2\beta) = sin(2(\alpha + \beta))$

Теперь применим формулу синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.

В нашем случае, переменная $x$ соответствует выражению $(\alpha + \beta)$. Подставим его в формулу:

$sin(2(\alpha + \beta)) = 2sin(\alpha + \beta)cos(\alpha + \beta)$

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью исходного равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.