Номер 21.8, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.8, страница 66.

21.8 а) $tg (2\alpha + 2\beta) = \frac{2 tg (\alpha + \beta)}{1 - tg^2 (\alpha + \beta)};$

б) $tg (\alpha + \beta) = \frac{2 tg \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}{1 - tg^2 \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}.$

а)

Для доказательства данного тождества необходимо использовать формулу тангенса двойного угла, которая имеет вид: $tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1 - tg^2(x)}$.

Рассмотрим левую часть исходного равенства: $tg(2\alpha + 2\beta)$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки в аргументе тангенса:

$tg(2\alpha + 2\beta) = tg(2(\alpha + \beta))$

Теперь мы можем применить формулу тангенса двойного угла, приняв за $x$ выражение $(\alpha + \beta)$.

Подставляем $x = \alpha + \beta$ в формулу $tg(2x)$:

$tg(2(\alpha + \beta)) = \frac{2tg(\alpha + \beta)}{1 - tg^2(\alpha + \beta)}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части, что и доказывает истинность тождества.

Ответ: $tg(2\alpha + 2\beta) = \frac{2tg(\alpha + \beta)}{1 - tg^2(\alpha + \beta)}$.

б)

Данное тождество также доказывается с помощью формулы тангенса двойного угла: $tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1 - tg^2(x)}$.

Рассмотрим левую часть исходного равенства: $tg(\alpha + \beta)$.

Чтобы применить формулу двойного угла, представим аргумент $(\alpha + \beta)$ как удвоенный угол. Для этого умножим и разделим его на 2:

$tg(\alpha + \beta) = tg\left(2 \cdot \frac{\alpha + \beta}{2}\right)$

Аргумент можно записать в виде суммы: $tg\left(2 \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)\right)$.

Теперь применим формулу тангенса двойного угла, где в качестве $x$ выступает выражение $\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)$.

Подставляем $x = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}$ в формулу $tg(2x)$:

$tg\left(2 \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)\right) = \frac{2tg\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}{1 - tg^2\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}$

Мы преобразовали левую часть равенства к виду правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: $tg(\alpha + \beta) = \frac{2tg\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}{1 - tg^2\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)}$.