Номер 21.11, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.11, страница 66.

21.11 а) Дано: $\cos t = \frac{3}{4}$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Вычислите: $\cos \frac{t}{2}$; $\sin \frac{t}{2}$; $\text{tg} \frac{t}{2}$; $\text{ctg} \frac{t}{2}$.

б) Дано: $\text{ctg} t = -\frac{3}{4}$, $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$.

Вычислите: $\cos \frac{t}{2}$; $\sin \frac{t}{2}$; $\text{tg} \frac{t}{2}$; $\text{ctg} \frac{t}{2}$.

а)

Дано: $ \cos t = \frac{3}{4} $, $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $. Для нахождения тригонометрических функций половинного угла $ \frac{t}{2} $ воспользуемся формулами понижения степени (формулами половинного угла): $ \cos^2 \frac{t}{2} = \frac{1 + \cos t}{2} $ и $ \sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} $.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $ \frac{t}{2} $. Из условия $ 0 < t < \frac{\pi}{2} $ следует, что $ \frac{0}{2} < \frac{t}{2} < \frac{\pi/2}{2} $, то есть $ 0 < \frac{t}{2} < \frac{\pi}{4} $. Это первая четверть, где значения всех тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс и котангенс) положительны.

1. Вычислим $ \cos \frac{t}{2} $. $ \cos^2 \frac{t}{2} = \frac{1 + \cos t}{2} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8} $. Так как $ \frac{t}{2} $ находится в первой четверти, $ \cos \frac{t}{2} > 0 $. Следовательно: $ \cos \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4} $.

2. Вычислим $ \sin \frac{t}{2} $. $ \sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} = \frac{1 - \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} $. Так как $ \frac{t}{2} $ находится в первой четверти, $ \sin \frac{t}{2} > 0 $. Следовательно: $ \sin \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

3. Вычислим $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} $. $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{2}{14}} = \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7} $.

4. Вычислим $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} $. $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = \frac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{14}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{14}{2}} = \sqrt{7} $.

Ответ: $ \cos \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{14}}{4} $, $ \sin \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $, $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{7}}{7} $, $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = \sqrt{7} $.

б)

Дано: $ \operatorname{ctg} t = \frac{3}{4} $, $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $. Для использования формул половинного угла нам необходимо найти значение $ \cos t $.

Угол $ t $ находится в третьей четверти ($ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $), где и синус, и косинус отрицательны. Воспользуемся тождеством $ 1 + \operatorname{ctg}^2 t = \frac{1}{\sin^2 t} $. $ \frac{1}{\sin^2 t} = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16} $. Отсюда $ \sin^2 t = \frac{16}{25} $. Так как $ t $ в третьей четверти, $ \sin t < 0 $, поэтому $ \sin t = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} $.

Теперь найдем $ \cos t $ из определения котангенса $ \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} $: $ \cos t = \sin t \cdot \operatorname{ctg} t = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{5} $.

Теперь определим четверть для угла $ \frac{t}{2} $. Из условия $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $ следует, что $ \frac{\pi}{2} < \frac{t}{2} < \frac{3\pi}{4} $. Это вторая четверть. Во второй четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Вычислим $ \cos \frac{t}{2} $. $ \cos^2 \frac{t}{2} = \frac{1 + \cos t}{2} = \frac{1 + (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5} $. Так как $ \frac{t}{2} $ во второй четверти, $ \cos \frac{t}{2} < 0 $. Следовательно: $ \cos \frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

2. Вычислим $ \sin \frac{t}{2} $. $ \sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 - \cos t}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{8}{5}}{2} = \frac{4}{5} $. Так как $ \frac{t}{2} $ во второй четверти, $ \sin \frac{t}{2} > 0 $. Следовательно: $ \sin \frac{t}{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $.

3. Вычислим $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} $. $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}} = -2 $.

4. Вычислим $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} $. $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{t}{2}} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ \cos \frac{t}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $, $ \sin \frac{t}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $, $ \operatorname{tg} \frac{t}{2} = -2 $, $ \operatorname{ctg} \frac{t}{2} = -\frac{1}{2} $.