Номер 21.18, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.18, страница 67.

21.18 a) $ \cos^4 t - \sin^4 t = \cos 2t; $

б) $ \cos^4 t + \sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2t. $

а)

Требуется доказать тождество $cos^4 t - sin^4 t = cos 2t$. Для этого преобразуем левую часть равенства.

Выражение $cos^4 t - sin^4 t$ можно рассматривать как разность квадратов, так как $cos^4 t = (cos^2 t)^2$ и $sin^4 t = (sin^2 t)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где в нашем случае $a = cos^2 t$ и $b = sin^2 t$:
$cos^4 t - sin^4 t = (cos^2 t - sin^2 t)(cos^2 t + sin^2 t)$.

Теперь воспользуемся двумя известными тригонометрическими тождествами:
1. Основное тригонометрическое тождество: $cos^2 t + sin^2 t = 1$.
2. Формула косинуса двойного угла: $cos 2t = cos^2 t - sin^2 t$.

Подставим значения этих тождеств в наше преобразованное выражение:
$(cos^2 t - sin^2 t)(cos^2 t + sin^2 t) = (cos 2t) \cdot 1 = cos 2t$.

В результате преобразований мы получили, что левая часть исходного равенства равна $cos 2t$, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $cos^4 t - sin^4 t = cos 2t$ доказано.

б)

Требуется доказать тождество $cos^4 t + sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}sin^2 2t$. Снова преобразуем левую часть.

Рассмотрим выражение $cos^4 t + sin^4 t$. Мы можем дополнить его до полного квадрата суммы, прибавив и вычтя удвоенное произведение $2 sin^2 t cos^2 t$:
$cos^4 t + sin^4 t = (cos^4 t + 2 sin^2 t cos^2 t + sin^4 t) - 2 sin^2 t cos^2 t$.

Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(cos^2 t + sin^2 t)^2$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $cos^2 t + sin^2 t = 1$.
Следовательно, выражение можно переписать так:
$(cos^2 t + sin^2 t)^2 - 2 sin^2 t cos^2 t = 1^2 - 2 sin^2 t cos^2 t = 1 - 2 sin^2 t cos^2 t$.

Теперь преобразуем член $2 sin^2 t cos^2 t$. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin 2t = 2 sin t cos t$.

Возведем эту формулу в квадрат:
$sin^2 2t = (2 sin t cos t)^2 = 4 sin^2 t cos^2 t$.

Отсюда можно выразить $2 sin^2 t cos^2 t$:
$2 sin^2 t cos^2 t = \frac{1}{2} (4 sin^2 t cos^2 t) = \frac{1}{2} sin^2 2t$.

Подставим это выражение обратно в нашу формулу:
$cos^4 t + sin^4 t = 1 - 2 sin^2 t cos^2 t = 1 - \frac{1}{2} sin^2 2t$.

Мы преобразовали левую часть к виду правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $cos^4 t + sin^4 t = 1 - \frac{1}{2}sin^2 2t$ доказано.