Номер 21.24, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.24, страница 68.

Решите уравнение:

21.24 а) $sin 2x - 2 cos x = 0;$

б) $sin 2x - sin x = 0;$

В) $2 sin x = sin 2x;$

Г) $sin 2x + cos x = 0.$

а) $\sin 2x - 2\cos x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Подставим ее в уравнение:

$2\sin x \cos x - 2\cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\cos x (\sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два случая:

1. $\cos x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$) является подмножеством первой серии ($x = \frac{\pi}{2} + \pi n$), так как она получается из первой при четных $n$ (если $n=2k$). Поэтому, для того чтобы записать все решения, достаточно указать только первую, более общую, серию.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin 2x - \sin x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x - \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\cos x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2\sin x = \sin 2x$

Перенесем все члены в одну сторону: $\sin 2x - 2\sin x = 0$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x - 2\sin x = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:

$2\sin x (\cos x - 1) = 0$

Получаем два уравнения:

1. $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$

Решения этого уравнения: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия решений ($x = 2\pi k$) является подмножеством первой серии ($x = \pi n$), так как она получается из первой при четных $n$ (если $n=2k$). Таким образом, общим решением является первая серия.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin 2x + \cos x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x + \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\sin x + 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\cos x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.