Номер 21.19, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.19, страница 67.

21.19 a) $\text{ctg}t - \sin 2t = \text{ctg}t \cos 2t;$

б) $\sin 2t - \text{tg}t = \cos 2t \text{tg}t.$

а) $ctg t - \sin 2t = ctg t \cos 2t$

Для решения данного уравнения сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса $ctg t$ определена, если $sin t \neq 0$. Следовательно, ОДЗ: $t \neq \pi k$, где $k \in Z$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ctg t - \sin 2t - ctg t \cos 2t = 0$

Сгруппируем члены, содержащие $ctg t$, и вынесем его за скобку:

$ctg t (1 - \cos 2t) - \sin 2t = 0$

Воспользуемся известными тригонометрическими тождествами:

• Формула двойного угла для синуса: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$
• Формула понижения степени (или следствие из формулы двойного угла для косинуса): $1 - \cos 2t = 2 \sin^2 t$
• Определение котангенса: $ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$

Подставим эти выражения в наше уравнение:

$\frac{\cos t}{\sin t} \cdot (2 \sin^2 t) - 2 \sin t \cos t = 0$

Так как по ОДЗ $\sin t \neq 0$, мы можем сократить $\sin t$ в первом члене:

$\cos t \cdot (2 \sin t) - 2 \sin t \cos t = 0$

$2 \sin t \cos t - 2 \sin t \cos t = 0$

$0 = 0$

Мы получили верное равенство, которое не зависит от переменной $t$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством, то есть оно справедливо для всех значений $t$ из области допустимых значений.

Ответ: $t \neq \pi k, k \in Z$.

б) $\sin 2t - tg t = \cos 2t tg t$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Функция тангенса $tg t$ определена, если $\cos t \neq 0$. Следовательно, ОДЗ: $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

Перенесем члены, содержащие $tg t$, в правую часть уравнения:

$\sin 2t = \cos 2t tg t + tg t$

Вынесем $tg t$ за скобку в правой части:

$\sin 2t = tg t ( \cos 2t + 1)$

Применим тригонометрические тождества:

• Формула двойного угла для синуса: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$
• Формула понижения степени (или следствие из формулы двойного угла для косинуса): $1 + \cos 2t = 2 \cos^2 t$
• Определение тангенса: $tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$2 \sin t \cos t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot (2 \cos^2 t)$

Так как по ОДЗ $\cos t \neq 0$, мы можем сократить $\cos t$ в правой части:

$2 \sin t \cos t = \sin t \cdot (2 \cos t)$

$2 \sin t \cos t = 2 \sin t \cos t$

$0 = 0$

Мы снова получили верное равенство, не зависящее от $t$. Это значит, что исходное уравнение является тождеством и справедливо для всех значений $t$ из области допустимых значений.

Ответ: $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.