Номер 21.16, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.16, страница 67.

21.16 a) $ (1 - \operatorname{tg}^2 t) \cos^2 t; $

б) $ 2 \cos^2 \frac{\pi + t}{4} - 2 \sin^2 \frac{\pi + t}{4}. $

а)

Чтобы упростить выражение $(1 - \text{tg}^2 t) \cos^2 t$, воспользуемся определением тангенса $\text{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$.

Подставим это определение в исходное выражение:

$(1 - \text{tg}^2 t) \cos^2 t = (1 - (\frac{\sin t}{\cos t})^2) \cos^2 t = (1 - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}) \cos^2 t$.

Теперь раскроем скобки, умножив $\cos^2 t$ на каждый член внутри скобок:

$1 \cdot \cos^2 t - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \cdot \cos^2 t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Следовательно, исходное выражение равно $\cos(2t)$.

Ответ: $\cos(2t)$.

б)

Рассмотрим выражение $2 \cos^2 \frac{\pi + t}{4} - 2 \sin^2 \frac{\pi + t}{4}$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2 \left(\cos^2 \frac{\pi + t}{4} - \sin^2 \frac{\pi + t}{4}\right)$.

Выражение в скобках представляет собой формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, где $\alpha = \frac{\pi + t}{4}$.

Применяя эту формулу, получаем:

$2 \cos\left(2 \cdot \frac{\pi + t}{4}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi + t}{2}\right)$.

Далее, представим аргумент косинуса в виде суммы: $2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{t}{2}\right)$.

Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x$. В нашем случае $x = \frac{t}{2}$.

Таким образом, $2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{t}{2}\right) = 2\left(-\sin\frac{t}{2}\right) = -2 \sin\frac{t}{2}$.

Ответ: $-2 \sin\frac{t}{2}$.