Номер 21.17, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени - номер 21.17, страница 67.

Условие.

21.17 a) $(\sin t - \cos t)^2 = 1 - \sin 2t;$

Б) $2\cos^2 t = 1 + \cos 2t;$

В) $(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t;$

Г) $2\sin^2 t = 1 - \cos 2t.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Докажем тождество $(\sin t - \cos t)^2 = 1 - \sin 2t$.

Преобразуем левую часть равенства. Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, раскроем скобки:

$(\sin t - \cos t)^2 = \sin^2 t - 2\sin t \cos t + \cos^2 t$

Сгруппируем слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$(\sin^2 t + \cos^2 t) - 2\sin t \cos t = 1 - 2\sin t \cos t$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2\sin t \cos t$:

$1 - 2\sin t \cos t = 1 - \sin 2t$

В результате преобразований мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $2\cos^2 t = 1 + \cos 2t$.

Преобразуем правую часть равенства. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$:

$1 + \cos 2t = 1 + (\cos^2 t - \sin^2 t)$

Из основного тригонометрического тождества выразим $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$ и подставим в выражение:

$1 + \cos^2 t - (1 - \cos^2 t) = 1 + \cos^2 t - 1 + \cos^2 t = 2\cos^2 t$

В результате преобразований мы получили левую часть исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество $(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t$.

Преобразуем левую часть равенства. Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, раскроем скобки:

$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t$

Сгруппируем слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$(\sin^2 t + \cos^2 t) + 2\sin t \cos t = 1 + 2\sin t \cos t$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2t = 2\sin t \cos t$:

$1 + 2\sin t \cos t = 1 + \sin 2t$

В результате преобразований мы получили правую часть исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Докажем тождество $2\sin^2 t = 1 - \cos 2t$.

Преобразуем правую часть равенства. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$:

$1 - \cos 2t = 1 - (\cos^2 t - \sin^2 t) = 1 - \cos^2 t + \sin^2 t$

Из основного тригонометрического тождества выразим $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$ и подставим в выражение:

$1 - (1 - \sin^2 t) + \sin^2 t = 1 - 1 + \sin^2 t + \sin^2 t = 2\sin^2 t$

В результате преобразований мы получили левую часть исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.