Номер 21.4, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.4, страница 65.

21.4 a) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8};$

б) $\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4};$

В) $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8};$

Г) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^2.$

а) Для решения используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$. В данном выражении $\alpha = \frac{\pi}{8}$, следовательно:

$2 \sin\frac{\pi}{8} \cos\frac{\pi}{8} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Преобразуем первое слагаемое, используя следствие из формулы синуса двойного угла: $\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. При $\alpha = \frac{\pi}{8}$ имеем:

$\sin\frac{\pi}{8} \cos\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{4}$.

Подставляем табличное значение $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2} + 1}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} + 1}{4}$.

в) Данное выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Для $\alpha = \frac{\pi}{8}$ получаем:

$\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным: $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8})^2 = \cos^2\frac{\pi}{8} + 2\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8}$.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$(\sin^2\frac{\pi}{8} + \cos^2\frac{\pi}{8}) + 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = 1 + \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 1 + \sin(\frac{\pi}{4})$.

Подставим табличное значение $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1$.

Ответ: $-1$.