Номер 20.15, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.15, страница 65.

20.15 Докажите, что прямые $y = 3x + 1$ и $y = 6 - 2x$ пересекаются под углом $45^\circ$.

Для доказательства того, что две прямые пересекаются под определенным углом, можно использовать их угловые коэффициенты. Угол $\alpha$ между двумя прямыми, заданными уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, находится по формуле для тангенса угла между ними:

$\tan(\alpha) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

Определим угловые коэффициенты для заданных прямых.

Первая прямая: $y = 3x + 1$. Ее угловой коэффициент $k_1 = 3$.

Вторая прямая: $y = 6 - 2x$. Перепишем в стандартном виде $y = -2x + 6$. Ее угловой коэффициент $k_2 = -2$.

Теперь подставим значения $k_1$ и $k_2$ в формулу для тангенса угла:

$\tan(\alpha) = \left| \frac{-2 - 3}{1 + 3 \cdot (-2)} \right| = \left| \frac{-5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{-5}{-5} \right| = |1| = 1$

Мы получили, что тангенс угла между прямыми равен 1. Острый угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.

$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Следовательно, мы доказали, что прямые $y = 3x + 1$ и $y = 6 - 2x$ действительно пересекаются под углом $45^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку тангенс угла между прямыми равен 1, угол их пересечения составляет $45^\circ$.