Номер 20.12, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.12, страница 64.

20.12 a) Зная, что $tg \alpha = 3$ и $tg(\alpha + \beta) = 1$, найдите $tg \beta$.

б) Зная, что $tg \alpha = \frac{1}{4}$ и $tg(\alpha - \beta) = 2$, найдите $tg \beta$.

а) Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса суммы углов:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Подставим известные значения $ \tg\alpha = 3 $ и $ \tg(\alpha + \beta) = 1 $ в формулу:

$ 1 = \frac{3 + \tg\beta}{1 - 3 \cdot \tg\beta} $

Чтобы найти $ \tg\beta $, введем замену $ x = \tg\beta $. Уравнение примет вид:

$ 1 = \frac{3 + x}{1 - 3x} $

Решим это уравнение относительно $x$. Для этого умножим обе части на знаменатель $ (1 - 3x) $, предполагая, что $ 1 - 3x \neq 0 $.

$ 1 \cdot (1 - 3x) = 3 + x $

$ 1 - 3x = 3 + x $

Теперь соберем все слагаемые с $x$ в левой части уравнения, а свободные члены — в правой:

$ -3x - x = 3 - 1 $

$ -4x = 2 $

Отсюда находим $x$:

$ x = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} $

Следовательно, $ \tg\beta = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

б) Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса разности углов:

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Подставим известные значения $ \tg\alpha = \frac{1}{4} $ и $ \tg(\alpha - \beta) = 2 $ в формулу:

$ 2 = \frac{\frac{1}{4} - \tg\beta}{1 + \frac{1}{4} \cdot \tg\beta} $

Чтобы найти $ \tg\beta $, введем замену $ y = \tg\beta $. Уравнение примет вид:

$ 2 = \frac{\frac{1}{4} - y}{1 + \frac{y}{4}} $

Решим это уравнение относительно $y$. Умножим обе части на знаменатель $ (1 + \frac{y}{4}) $, предполагая, что он не равен нулю.

$ 2 \cdot (1 + \frac{y}{4}) = \frac{1}{4} - y $

$ 2 + \frac{2y}{4} = \frac{1}{4} - y $

$ 2 + \frac{y}{2} = \frac{1}{4} - y $

Теперь соберем все слагаемые с $y$ в левой части уравнения, а свободные члены — в правой:

$ \frac{y}{2} + y = \frac{1}{4} - 2 $

Приведем подобные слагаемые:

$ \frac{y}{2} + \frac{2y}{2} = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} $

$ \frac{3y}{2} = -\frac{7}{4} $

Отсюда находим $y$:

$ y = -\frac{7}{4} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{14}{12} = -\frac{7}{6} $

Следовательно, $ \tg\beta = -\frac{7}{6} $.

Ответ: $ -\frac{7}{6} $