Номер 20.6, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.6, страница 64.

Упростите выражение:

20.6 а) $\frac{\text{tg } 2,22 + \text{tg } 0,92}{1 - \text{tg } 2,22 \text{tg } 0,92}$;

б) $\frac{\text{tg } 1,47 - \text{tg } 0,69}{1 + \text{tg } 1,47 \text{tg } 0,69}$.

a) Исходное выражение представляет собой дробь:

$$ \frac{\text{tg } 2,22 + \text{tg } 0,92}{1 - \text{tg } 2,22 \text{ tg } 0,92} $$

Это выражение соответствует тригонометрической формуле тангенса суммы двух углов:

$$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta} $$

В данном случае, мы можем принять $\alpha = 2,22$ и $\beta = 0,92$. Применив формулу, получаем:

$$ \frac{\text{tg } 2,22 + \text{tg } 0,92}{1 - \text{tg } 2,22 \text{ tg } 0,92} = \text{tg}(2,22 + 0,92) $$

Выполним сложение в аргументе тангенса:

$$ 2,22 + 0,92 = 3,14 $$

Таким образом, выражение упрощается до $\text{tg}(3,14)$.

Число $3,14$ является общепринятым приближением для числа $\pi$. В контексте подобных задач предполагается, что мы должны использовать это значение.

Вычислим тангенс от $\pi$:

$$ \text{tg}(\pi) = 0 $$

Ответ: $0$

б) Исходное выражение представляет собой дробь:

$$ \frac{\text{tg } 1,47 - \text{tg } 0,69}{1 + \text{tg } 1,47 \text{ tg } 0,69} $$

Это выражение соответствует тригонометрической формуле тангенса разности двух углов:

$$ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta} $$

Здесь мы можем принять $\alpha = 1,47$ и $\beta = 0,69$. Применив формулу, получаем:

$$ \frac{\text{tg } 1,47 - \text{tg } 0,69}{1 + \text{tg } 1,47 \text{ tg } 0,69} = \text{tg}(1,47 - 0,69) $$

Выполним вычитание в аргументе тангенса:

$$ 1,47 - 0,69 = 0,78 $$

Таким образом, выражение упрощается до $\text{tg}(0,78)$.

Число $0,78$ является приближенным значением для $\frac{\pi}{4}$ (так как $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3,14159}{4} \approx 0,7854$). По аналогии с пунктом а), будем считать, что $0,78$ представляет собой угол $\frac{\pi}{4}$ в радианах.

Вычислим тангенс от $\frac{\pi}{4}$:

$$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $$

Ответ: $1$