Номер 20.4, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§20. Тангенс суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 20.4, страница 64.

20.4 Известно, что $\text{tg}\ \alpha = \frac{1}{2}$, $\text{tg}\ \beta = \frac{1}{3}$. Найдите:

a) $\text{tg}(\alpha + \beta)$;

б) $\text{tg}(\alpha - \beta)$.

а) Для нахождения $tg(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$

Подставим известные значения $tg \alpha = \frac{1}{2}$ и $tg \beta = \frac{1}{3}$ в эту формулу:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}$

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим значение числителя:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

Затем вычислим значение знаменателя:

$1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Теперь найдем отношение числителя к знаменателю:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$

Ответ: $1$

б) Для нахождения $tg(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha \cdot tg \beta}$

Подставим известные значения $tg \alpha = \frac{1}{2}$ и $tg \beta = \frac{1}{3}$ в эту формулу:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}$

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим значение числителя:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

Затем вычислим значение знаменателя:

$1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$

Теперь найдем отношение числителя к знаменателю:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$