Номер 20.2, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §20. Тангенс суммы и разности аргументов - номер 20.2, страница 63.

Условие.

20.2 a) $\frac{\operatorname{tg} 25^{\circ}+\operatorname{tg} 20^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 25^{\circ} \operatorname{tg} 20^{\circ}};$

б) $\frac{1-\operatorname{tg} 70^{\circ} \operatorname{tg} 65^{\circ}}{\operatorname{tg} 70^{\circ}+\operatorname{tg} 65^{\circ}};$

B) $\frac{\operatorname{tg} 9^{\circ}+\operatorname{tg} 51^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 9^{\circ} \operatorname{tg} 51^{\circ}};$

Г) $\frac{1+\operatorname{tg} 54^{\circ} \operatorname{tg} 9^{\circ}}{\operatorname{tg} 54^{\circ}-\operatorname{tg} 9^{\circ}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Данное выражение является формулой тангенса суммы углов: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha tg \beta}$. В данном случае $\alpha = 25^\circ$ и $\beta = 20^\circ$. Следовательно, выражение равно $tg(25^\circ + 20^\circ) = tg(45^\circ)$. Значение тангенса 45 градусов равно 1.
$\frac{tg 25^\circ + tg 20^\circ}{1 - tg 25^\circ tg 20^\circ} = tg(25^\circ + 20^\circ) = tg(45^\circ) = 1$.
Ответ: $1$.

б) Данное выражение является формулой котангенса суммы углов: $ctg(\alpha + \beta) = \frac{1 - tg \alpha tg \beta}{tg \alpha + tg \beta}$. В данном случае $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 65^\circ$. Следовательно, выражение равно $ctg(70^\circ + 65^\circ) = ctg(135^\circ)$. Используя формулу приведения, $ctg(135^\circ) = ctg(180^\circ - 45^\circ) = -ctg(45^\circ)$, что равно -1.
$\frac{1 - tg 70^\circ tg 65^\circ}{tg 70^\circ + tg 65^\circ} = ctg(70^\circ + 65^\circ) = ctg(135^\circ) = -1$.
Ответ: $-1$.

в) Снова используем формулу тангенса суммы углов: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha tg \beta}$. Здесь $\alpha = 9^\circ$ и $\beta = 51^\circ$. Таким образом, выражение равно $tg(9^\circ + 51^\circ) = tg(60^\circ)$. Значение тангенса 60 градусов равно $\sqrt{3}$.
$\frac{tg 9^\circ + tg 51^\circ}{1 - tg 9^\circ tg 51^\circ} = tg(9^\circ + 51^\circ) = tg(60^\circ) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

г) Данное выражение является формулой котангенса разности углов: $ctg(\alpha - \beta) = \frac{1 + tg \alpha tg \beta}{tg \alpha - tg \beta}$. В данном случае $\alpha = 54^\circ$ и $\beta = 9^\circ$. Следовательно, выражение равно $ctg(54^\circ - 9^\circ) = ctg(45^\circ)$. Значение котангенса 45 градусов равно 1.
$\frac{1 + tg 54^\circ tg 9^\circ}{tg 54^\circ - tg 9^\circ} = ctg(54^\circ - 9^\circ) = ctg(45^\circ) = 1$.
Ответ: $1$.