Номер 19.23, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.23, страница 62.
№19.23 (с. 62)
Условие. №19.23 (с. 62)
скриншот условия

19.23 a) $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1;$
б) $\sin x + \cos x = 1;$
в) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1;$
г) $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1.$
Решение 1. №19.23 (с. 62)

Решение 2. №19.23 (с. 62)


Решение 3. №19.23 (с. 62)

Решение 5. №19.23 (с. 62)


Решение 6. №19.23 (с. 62)
а)
Дано уравнение: $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$.
Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, для решения которого используется метод введения вспомогательного угла. Заметим, что коэффициенты $\frac{\sqrt{2}}{2}$ равны $\cos(\frac{\pi}{4})$ и $\sin(\frac{\pi}{4})$.
Заменим коэффициенты в уравнении: $\cos(\frac{\pi}{4}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = 1$.
Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.
Применяя эту формулу, получаем: $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Синус равен единице, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).
Следовательно, $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
Выразим $x$: $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi - \pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б)
Дано уравнение: $\sin x + \cos x = 1$.
Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1$ и $b=1$. Применим метод вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Получаем: $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, что то же самое, что и $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Заменим коэффициенты, зная, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{4}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Используя формулу синуса суммы $\sin(A+B)$, получаем: $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решения этого уравнения распадаются на две серии:
1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi n, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
в)
Дано уравнение: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1$.
Уравнение уже имеет вид, удобный для применения формулы косинуса суммы: $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Подставим эти значения в уравнение: $\cos(\frac{\pi}{6}) \cos x - \sin(\frac{\pi}{6}) \sin x = 1$.
Сворачиваем левую часть по формуле косинуса суммы: $\cos(x + \frac{\pi}{6}) = 1$.
Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n$.
Выразим $x$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
г)
Дано уравнение: $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1$.
Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=-1$ и $b=\sqrt{3}$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.
Получаем: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2}$.
Как и в предыдущем задании, левую часть можно свернуть, используя формулу косинуса суммы, так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
$\cos(\frac{\pi}{6}) \cos x - \sin(\frac{\pi}{6}) \sin x = \frac{1}{2}$.
Применяя формулу, получаем: $\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Решения этого уравнения распадаются на две серии:
1) $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 19.23 расположенного на странице 62 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №19.23 (с. 62), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.