Номер 19.23, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §19. Синус и косинус суммы и разности аргументов - номер 19.23, страница 62.

Условие.

19.23 a) $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1;$

б) $\sin x + \cos x = 1;$

в) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1;$

г) $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Дано уравнение: $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, для решения которого используется метод введения вспомогательного угла. Заметим, что коэффициенты $\frac{\sqrt{2}}{2}$ равны $\cos(\frac{\pi}{4})$ и $\sin(\frac{\pi}{4})$.

Заменим коэффициенты в уравнении: $\cos(\frac{\pi}{4}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = 1$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.

Применяя эту формулу, получаем: $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Синус равен единице, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Следовательно, $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Выразим $x$: $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi - \pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение: $\sin x + \cos x = 1$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1$ и $b=1$. Применим метод вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Получаем: $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, что то же самое, что и $\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Заменим коэффициенты, зная, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{4}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(A+B)$, получаем: $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решения этого уравнения распадаются на две серии:

1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1$.

Уравнение уже имеет вид, удобный для применения формулы косинуса суммы: $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение: $\cos(\frac{\pi}{6}) \cos x - \sin(\frac{\pi}{6}) \sin x = 1$.

Сворачиваем левую часть по формуле косинуса суммы: $\cos(x + \frac{\pi}{6}) = 1$.

Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, $x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n$.

Выразим $x$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение: $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=-1$ и $b=\sqrt{3}$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Получаем: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2}$.

Как и в предыдущем задании, левую часть можно свернуть, используя формулу косинуса суммы, так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

$\cos(\frac{\pi}{6}) \cos x - \sin(\frac{\pi}{6}) \sin x = \frac{1}{2}$.

Применяя формулу, получаем: $\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения распадаются на две серии:

1) $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.