Номер 19.18, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.18, страница 61.

19.18 a) $\cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1;$

б) $\sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = 0,5.$

a) $\cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1$

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 6x$ и $\beta = 5x$:

$\cos(6x - 5x) = -1$

$\cos x = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для него имеет вид:

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = 0,5$

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 3x$ и $\beta = 5x$:

$\sin(3x - 5x) = 0,5$

$\sin(-2x) = 0,5$

Так как синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-t) = -\sin t$, уравнение можно переписать в виде:

$-\sin(2x) = 0,5$

$\sin(2x) = -0,5$

Решим это уравнение. Общая формула для решения уравнения $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t=2x$ и $a=-0,5$. Значение $\arcsin(-0,5) = -\frac{\pi}{6}$.

$2x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.