Номер 19.14, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.14, страница 61.

19.14 a) $\sin\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} - t\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3} + t\right) \sin\left(\frac{\pi}{3} - t\right);$

б) $\cos\left(\frac{\pi}{4} + t\right) \cos\left(\frac{\pi}{12} - t\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - t\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12} + t\right).$

а)

Рассмотрим исходное выражение: $sin(\frac{\pi}{6} + t)cos(\frac{\pi}{3} - t) + sin(\frac{2\pi}{3} + t)sin(\frac{\pi}{3} - t)$.

Наша цель - упростить это выражение, используя тригонометрические тождества и формулы приведения.

1. Преобразуем множители в выражении. Заметим, что сумма некоторых аргументов является константой. Например, $(\frac{\pi}{6} + t) + (\frac{\pi}{3} - t) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

2. Используя это, выразим один аргумент через другой: $\frac{\pi}{3} - t = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} + t)$.

3. Применим формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$ к первому слагаемому:

$cos(\frac{\pi}{3} - t) = cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} + t)) = sin(\frac{\pi}{6} + t)$.

4. Теперь преобразуем множитель $sin(\frac{2\pi}{3} + t)$ из второго слагаемого. Используем формулу приведения $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$:

$sin(\frac{2\pi}{3} + t) = sin(\pi - \frac{\pi}{3} + t) = sin(\pi - (\frac{\pi}{3} - t)) = sin(\frac{\pi}{3} - t)$.

5. Подставим преобразованные выражения в исходное:

$sin(\frac{\pi}{6} + t) \cdot sin(\frac{\pi}{6} + t) + sin(\frac{\pi}{3} - t) \cdot sin(\frac{\pi}{3} - t) = sin^2(\frac{\pi}{6} + t) + sin^2(\frac{\pi}{3} - t)$.

6. Вспомним, что $\frac{\pi}{3} - t = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} + t)$. Применим формулу приведения $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$ ко второму слагаемому в полученной сумме квадратов:

$sin(\frac{\pi}{3} - t) = sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} + t)) = cos(\frac{\pi}{6} + t)$.

7. Тогда $sin^2(\frac{\pi}{3} - t) = cos^2(\frac{\pi}{6} + t)$.

8. Подставив это в наше выражение, получаем:

$sin^2(\frac{\pi}{6} + t) + cos^2(\frac{\pi}{6} + t)$.

9. Это основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, где в данном случае $\alpha = \frac{\pi}{6} + t$.

Следовательно, значение выражения не зависит от $t$ и равно 1.

Ответ: $1$.

б)

Рассмотрим исходное выражение: $cos(\frac{\pi}{4} + t)cos(\frac{\pi}{12} - t) - cos(\frac{\pi}{4} - t)cos(\frac{5\pi}{12} + t)$.

Выражение имеет структуру, похожую на формулу косинуса суммы $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.

1. Обозначим $\alpha = \frac{\pi}{4} + t$ и $\beta = \frac{\pi}{12} - t$. Тогда первое слагаемое равно $cos(\alpha)cos(\beta)$.

2. Преобразуем множители во втором слагаемом, чтобы выразить их через $\alpha$ и $\beta$.

3. Рассмотрим $cos(\frac{\pi}{4} - t)$. Заметим, что $\frac{\pi}{4} - t = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + t) = \frac{\pi}{2} - \alpha$.

Используя формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$, получим:

$cos(\frac{\pi}{4} - t) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha) = sin(\frac{\pi}{4} + t)$.

4. Рассмотрим $cos(\frac{5\pi}{12} + t)$. Заметим, что $\frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi - \pi}{12} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}$.

Тогда аргумент можно представить в виде: $\frac{5\pi}{12} + t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} + t = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{12} - t) = \frac{\pi}{2} - \beta$.

Снова используя формулу приведения, получим:

$cos(\frac{5\pi}{12} + t) = cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = sin(\beta) = sin(\frac{\pi}{12} - t)$.

5. Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$cos(\frac{\pi}{4} + t)cos(\frac{\pi}{12} - t) - sin(\frac{\pi}{4} + t)sin(\frac{\pi}{12} - t)$.

6. В наших обозначениях это $cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$, что является формулой для $cos(\alpha + \beta)$.

7. Найдем значение $\alpha + \beta$:

$\alpha + \beta = (\frac{\pi}{4} + t) + (\frac{\pi}{12} - t) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.

8. Таким образом, исходное выражение равно $cos(\frac{\pi}{3})$.

9. Вычисляем значение: $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.