Номер 19.9, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §19. Синус и косинус суммы и разности аргументов - номер 19.9, страница 60.

Условие.

19.9 a) $ \sin 7x \cos 4x - \cos 7x \sin 4x = \sin 3x; $

б) $ \cos 2x \cos 12x + \sin 2x \sin 12x = \cos 10x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Дано уравнение: $sin 7x \cdot cos 4x - cos 7x \cdot sin 4x = sin 3x$.

Левая часть этого уравнения соответствует формуле синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = 7x$ и $\beta = 4x$. Применим эту формулу к левой части уравнения:

$sin(7x - 4x) = sin 3x$

Выполним вычитание в скобках:

$sin(3x) = sin 3x$

В результате мы получили тождество, то есть равенство, которое является верным для любого значения переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение также является тождеством.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (x - любое действительное число).

б)

Дано уравнение: $cos 2x \cdot cos 12x + sin 2x \cdot sin 12x = cos 10x$.

Левая часть этого уравнения соответствует формуле косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = 12x$ и $\beta = 2x$. Применим эту формулу к левой части уравнения (порядок аргументов не важен, так как $cos(-\phi) = cos(\phi)$):

$cos(12x - 2x) = cos 10x$

Выполним вычитание в скобках:

$cos(10x) = cos 10x$

Мы снова получили тождество, которое верно при любых значениях переменной $x$. Следовательно, исходное уравнение является тождеством.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (x - любое действительное число).