Номер 19.5, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§19. Синус и косинус суммы и разности аргументов. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 19.5, страница 59.

Докажите тождество:

19.5 a) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \cos(-\beta) = \sin \beta \cos \alpha;$

б) $\cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \sin(-\beta) = \cos \alpha \cos \beta.$

а) Докажем тождество $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \cos(-\beta) = \sin\beta \cos\alpha $. Для этого преобразуем его левую часть, используя тригонометрические формулы.

1. Применим формулу синуса суммы двух углов:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

2. Воспользуемся свойствами четности тригонометрических функций. Синус является нечетной функцией, а косинус — четной:
$ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $
$ \cos(-\beta) = \cos\beta $.

3. Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \cos(-\beta) = (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) + (-\sin\alpha)(\cos\beta) $.

4. Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$ \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta $.

5. Приведем подобные слагаемые. Члены $ \sin\alpha \cos\beta $ и $ -\sin\alpha \cos\beta $ взаимно уничтожаются:
$ \cos\alpha \sin\beta $.

В результате преобразований левая часть тождества стала равна $ \cos\alpha \sin\beta $, что совпадает с правой частью $ \sin\beta \cos\alpha $ (согласно свойству коммутативности умножения). Тождество доказано.

Ответ: Преобразование левой части $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \cos(-\beta) $ с использованием формулы синуса суммы и свойств четности/нечетности приводит к выражению $ (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) - \sin\alpha \cos\beta = \cos\alpha \sin\beta $, которое равно правой части $ \sin\beta \cos\alpha $.

б) Докажем тождество $ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \sin(-\beta) = \cos\alpha \cos\beta $. Для этого также преобразуем его левую часть.

1. Применим формулу косинуса суммы двух углов:
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.

2. Воспользуемся свойством нечетности функции синус:
$ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $
$ \sin(-\beta) = -\sin\beta $.

3. Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \sin(-\beta) = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + (-\sin\alpha)(-\sin\beta) $.

4. Упростим полученное выражение. Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$ \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

5. Приведем подобные слагаемые. Члены $ -\sin\alpha \sin\beta $ и $ \sin\alpha \sin\beta $ взаимно уничтожаются:
$ \cos\alpha \cos\beta $.

В результате преобразований левая часть тождества стала равна $ \cos\alpha \cos\beta $, что в точности совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Преобразование левой части $ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha) \sin(-\beta) $ с использованием формулы косинуса суммы и свойства нечетности синуса приводит к выражению $ (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + \sin\alpha \sin\beta = \cos\alpha \cos\beta $, которое равно правой части.