Номер 18.45, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.45, страница 58.

18.45 a) $ \sin^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 \left( \frac{3\pi}{2} + 2x \right) + 2 \cos x \operatorname{tg} x = 1; $

б) $ 2 \cos^2 x - \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) + \operatorname{tg} x \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 0. $

a) $\sin^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 (\frac{3\pi}{2} + 2x) + 2 \cos x \tg x = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Уравнение содержит $\tg x$, который определен, когда $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Упростим уравнение, используя тригонометрические формулы:

1. По формуле приведения: $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha$. Тогда $\cos^2(\frac{3\pi}{2} + 2x) = (\sin 2x)^2 = \sin^2 2x$.

2. По определению тангенса: $2 \cos x \tg x = 2 \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$, что учтено в ОДЗ).

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\sin^2 x + \cos^2 2x + \sin^2 2x + 2 \sin x = 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$. Для $\alpha = 2x$ получим $\cos^2 2x + \sin^2 2x = 1$.

Уравнение принимает вид:

$\sin^2 x + 1 + 2 \sin x = 1$

Вычтем 1 из обеих частей:

$\sin^2 x + 2 \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + 2) = 0$

Это равенство выполняется, если:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + 2 = 0 \implies \sin x = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1; 1]$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни $x = \pi n$ области допустимых значений $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$.

При $x = \pi n$, $\cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$. Следовательно, найденные решения входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 x - \sin (x - \frac{\pi}{2}) + \tg x \tg (x + \frac{\pi}{2}) = 0$

Определим ОДЗ. Уравнение содержит $\tg x$ и $\tg (x + \frac{\pi}{2})$.

1. $\tg x$ определен при $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\tg (x + \frac{\pi}{2})$ определен при $\cos (x + \frac{\pi}{2}) \neq 0$. По формуле приведения $\cos (x + \frac{\pi}{2}) = -\sin x$. Значит, $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Упростим уравнение, используя формулы приведения:

1. $\sin(x - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - x)) = -\sin(\frac{\pi}{2} - x) = -\cos x$.

2. $\tg(x + \frac{\pi}{2}) = -\ctg x$.

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$2 \cos^2 x - (-\cos x) + \tg x (-\ctg x) = 0$

$2 \cos^2 x + \cos x - \tg x \ctg x = 0$

Поскольку в ОДЗ $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, то $\tg x \ctg x = 1$.

Уравнение принимает вид:

$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$.

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к переменной $x$.

1) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ ($x \neq \frac{\pi k}{2}$).

Серия корней $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$.

Серия корней $x = \pi + 2\pi n$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этих значениях $\sin x = 0$, что недопустимо.

Следовательно, решением является только первая серия корней.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.