Номер 18.38, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.38, страница 57.

18.38 a) $\sin^2 x - 5 \cos x = \sin x \cos x - 5 \sin x;$

б) $\cos^2 x - 7 \sin x + \sin x \cos x = 7 \cos x.$

а) $ \sin^2 x - 5\cos x = \sin x \cos x - 5\sin x $

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:

$ \sin^2 x - \sin x \cos x + 5\sin x - 5\cos x = 0 $

Сгруппируем слагаемые методом разложения на множители. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым:

$ (\sin^2 x - \sin x \cos x) + (5\sin x - 5\cos x) = 0 $

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$ \sin x (\sin x - \cos x) + 5(\sin x - \cos x) = 0 $

Теперь мы видим общий множитель $ (\sin x - \cos x) $, который можно вынести за скобку:

$ (\sin x - \cos x)(\sin x + 5) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к двум отдельным уравнениям:

1) $ \sin x - \cos x = 0 $

2) $ \sin x + 5 = 0 $

Рассмотрим первое уравнение: $ \sin x - \cos x = 0 $

$ \sin x = \cos x $

Если предположить, что $ \cos x = 0 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ \sin x $ будет равен $ 1 $ или $ -1 $, что не равно нулю. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos x $:

$ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 $

$ \tan x = 1 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Рассмотрим второе уравнение: $ \sin x + 5 = 0 $

$ \sin x = -5 $

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $ y = \sin x $ находится в пределах от $ -1 $ до $ 1 $, а $ -5 $ в этот промежуток не входит.

Следовательно, все решения исходного уравнения задаются только первой серией корней.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos^2 x - 7\sin x + \sin x \cos x = 7\cos x $

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$ \cos^2 x + \sin x \cos x - 7\sin x - 7\cos x = 0 $

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым:

$ (\cos^2 x + \sin x \cos x) - (7\sin x + 7\cos x) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ \cos x (\cos x + \sin x) - 7(\sin x + \cos x) = 0 $

Теперь вынесем общий множитель $ (\cos x + \sin x) $ за скобку:

$ (\cos x + \sin x)(\cos x - 7) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $ \cos x + \sin x = 0 $

2) $ \cos x - 7 = 0 $

Рассмотрим первое уравнение: $ \cos x + \sin x = 0 $

$ \sin x = -\cos x $

Аналогично предыдущему пункту, $ \cos x \neq 0 $, так как в противном случае и $ \sin x $ был бы равен нулю, что невозможно. Разделим обе части на $ \cos x $:

$ \frac{\sin x}{\cos x} = -1 $

$ \tan x = -1 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Рассмотрим второе уравнение: $ \cos x - 7 = 0 $

$ \cos x = 7 $

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ y = \cos x $ находится в пределах от $ -1 $ до $ 1 $, а $ 7 $ в этот промежуток не входит.

Таким образом, все решения исходного уравнения задаются только первой серией корней.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $