Номер 18.37, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.37, страница 57.

18.37 a) $sin \left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + cos \left(\frac{13\pi}{6} - 2x\right) = 0;$

б) $sin \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} cos \left(\frac{47\pi}{3} - \frac{x}{2}\right).$

а)

Исходное уравнение: $\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{13\pi}{6} - 2x\right) = 0$.

Сначала упростим второй член уравнения, используя формулы приведения. Представим угол $\frac{13\pi}{6}$ в виде $2\pi + \frac{\pi}{6}$.

$\cos\left(\frac{13\pi}{6} - 2x\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6} - 2x\right)$

Поскольку функция косинус имеет период $2\pi$, то $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6} - 2x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right)$

Также, косинус — чётная функция, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = \cos\left(-\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$

Подставим упрощенное выражение обратно в исходное уравнение:

$\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = 0$

Пусть $y = 2x - \frac{\pi}{6}$. Уравнение примет вид:

$\sin(y) + \cos(y) = 0$

Разделим обе части уравнения на $\cos(y)$, предполагая, что $\cos(y) \neq 0$. Если бы $\cos(y) = 0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin(y) = 0$, что невозможно одновременно, так как $\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$.

$\frac{\sin(y)}{\cos(y)} + \frac{\cos(y)}{\cos(y)} = 0$

$\tan(y) + 1 = 0$

$\tan(y) = -1$

Общее решение для этого уравнения:

$y = -\frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $y = 2x - \frac{\pi}{6}$:

$2x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + n\pi$

$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + n\pi$

$2x = \frac{2\pi - 3\pi}{12} + n\pi$

$2x = -\frac{\pi}{12} + n\pi$

Разделив обе части на 2, получим:

$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\cos\left(\frac{47\pi}{3} - \frac{x}{2}\right)$.

Упростим выражение в косинусе. Представим угол $\frac{47\pi}{3}$ в виде $\frac{48\pi - \pi}{3} = 16\pi - \frac{\pi}{3}$.

$\cos\left(\frac{47\pi}{3} - \frac{x}{2}\right) = \cos\left(16\pi - \frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right)$

Так как период косинуса равен $2\pi$, то $16\pi$ можно отбросить, так как $16\pi = 8 \cdot 2\pi$.

$\cos\left(16\pi - \frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right) = \cos\left(- \frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)\right)$

Используя свойство чётности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$

Пусть $y = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}$. Уравнение примет вид:

$\sin(y) = \sqrt{3}\cos(y)$

Разделим обе части на $\cos(y) \neq 0$ (как и в пункте а, одновременное равенство $\sin(y)=0$ и $\cos(y)=0$ невозможно).

$\frac{\sin(y)}{\cos(y)} = \sqrt{3}$

$\tan(y) = \sqrt{3}$

Общее решение этого уравнения:

$y = \frac{\pi}{3} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную подстановку $y = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}$:

$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + n\pi$

$\frac{x}{2} = n\pi$

Умножим обе части на 2:

$x = 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.