Номер 18.33, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.33, страница 56.

18.33 а) $\sqrt{16 - x^2} \cdot \sin x = 0$

б) $\sqrt{7x - x^2}(2 \cos x - 1) = 0$

а) $\sqrt{16 - x^2} \cdot \sin x = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$16 - x^2 \ge 0$
$(4 - x)(4 + x) \ge 0$
Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-4; 4]$.

Теперь решим уравнение. Оно равносильно совокупности двух систем:

1) $\sqrt{16 - x^2} = 0$
$16 - x^2 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

2) $\sin x = 0$ при условии, что $x \in [-4; 4]$.
Общее решение уравнения $\sin x = 0$ имеет вид $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем значения $n$, при которых корни принадлежат отрезку $[-4; 4]$:
$-4 \le \pi n \le 4$
$-\frac{4}{\pi} \le n \le \frac{4}{\pi}$
Так как $\pi \approx 3.14$, то $-\frac{4}{3.14} \approx -1.27$ и $\frac{4}{3.14} \approx 1.27$.
Следовательно, целые значения $n$, удовлетворяющие неравенству $-1.27 \le n \le 1.27$, это $n = -1, 0, 1$.
При $n = -1$, $x_3 = -\pi$.
При $n = 0$, $x_4 = 0$.
При $n = 1$, $x_5 = \pi$.
Все эти корни входят в ОДЗ.

Объединяя все найденные корни, получаем окончательное решение.
Ответ: $\{-4; -\pi; 0; \pi; 4\}$.

б) $\sqrt{7x - x^2}(2\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$7x - x^2 \ge 0$
$x(7 - x) \ge 0$
Решением этого неравенства является отрезок $x \in [0; 7]$.

Уравнение распадается на два случая:

1) $\sqrt{7x - x^2} = 0$
$7x - x^2 = 0$
$x(7 - x) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 7$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

2) $2\cos x - 1 = 0$ при условии, что $x \in [0; 7]$.
$2\cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$
Общее решение этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 7]$.
Рассмотрим серию корней $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Так как $0 \le \frac{\pi}{3} \le 7$ (примерно $1.05$), этот корень подходит.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Так как $7\pi \approx 21.98$, то $\frac{7\pi}{3} \approx 7.33$, что больше 7. Этот корень не подходит.
Рассмотрим серию корней $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$, что меньше 0. Корень не подходит.
При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Так как $5\pi \approx 15.7$, то $\frac{5\pi}{3} \approx 5.24$, что принадлежит отрезку $[0; 7]$. Этот корень подходит.
При $n=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$, что очевидно больше 7. Корень не подходит.
Итак, из этого случая мы получили два корня: $x_3 = \frac{\pi}{3}$ и $x_4 = \frac{5\pi}{3}$.

Объединяем все найденные решения.
Ответ: $\{0; \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}; 7\}$.