Номер 18.32, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.32, страница 56.

18.32 a) $\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)-3 \cos \left(\pi-\frac{x}{2}\right)=0$;

б) $\sqrt{3} \sin \left(\pi-\frac{x}{3}\right)+3 \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{3}\right)=0$.

а) Решим уравнение $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) - 3 cos(\pi - \frac{x}{2}) = 0$.

Для упрощения уравнения воспользуемся формулами приведения:

$cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$

$cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$

Подставим $\alpha = \frac{x}{2}$ и преобразуем исходное уравнение:

$sin(\frac{x}{2}) - 3(-cos(\frac{x}{2})) = 0$

$sin(\frac{x}{2}) + 3cos(\frac{x}{2}) = 0$

Мы получили однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части на $cos(\frac{x}{2})$. Такое деление возможно, так как если предположить, что $cos(\frac{x}{2}) = 0$, то из уравнения следует, что и $sin(\frac{x}{2}) = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, что следует из основного тригонометрического тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Выполняем деление:

$\frac{sin(\frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})} + \frac{3cos(\frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})} = 0$

$tg(\frac{x}{2}) + 3 = 0$

$tg(\frac{x}{2}) = -3$

Теперь найдем решение для $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = arctg(-3) + \pi n$, где $n \in Z$.

Используя свойство арктангенса $arctg(-a) = -arctg(a)$, получаем:

$\frac{x}{2} = -arctg(3) + \pi n$, где $n \in Z$.

Наконец, выразим $x$, умножив обе части на 2:

$x = -2arctg(3) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -2arctg(3) + 2\pi n, n \in Z$.

б) Решим уравнение $\sqrt{3} sin(\pi - \frac{x}{3}) + 3 sin(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{3}) = 0$.

Воспользуемся формулами приведения:

$sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$

$sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$

Подставим $\alpha = \frac{x}{3}$ и преобразуем исходное уравнение:

$\sqrt{3} sin(\frac{x}{3}) + 3 cos(\frac{x}{3}) = 0$

Это также является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Разделим обе части уравнения на $cos(\frac{x}{3})$. Как и в предыдущем пункте, $cos(\frac{x}{3})$ не может быть равен нулю, так как это привело бы к тому, что и $sin(\frac{x}{3})=0$, что невозможно.

$\frac{\sqrt{3} sin(\frac{x}{3})}{cos(\frac{x}{3})} + \frac{3 cos(\frac{x}{3})}{cos(\frac{x}{3})} = 0$

$\sqrt{3} tg(\frac{x}{3}) + 3 = 0$

$\sqrt{3} tg(\frac{x}{3}) = -3$

$tg(\frac{x}{3}) = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$

Найдем решение для $\frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = arctg(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in Z$.

Поскольку $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:

$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot (-\frac{\pi}{3} + \pi n)$

$x = -\pi + 3\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -\pi + 3\pi n, n \in Z$.