Номер 18.25, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.25, страница 56.

18.25 a) $2 \sin^2 2x - 5 \sin 2x \cos 2x + 2 \cos^2 2x = 0;$

б) $3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cos 3x + 3 \cos^2 3x = 0.$

а) $2\sin^2{2x} - 5\sin{2x}\cos{2x} + 2\cos^2{2x} = 0$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Для его решения разделим обе части уравнения на $\cos^2{2x}$.

Предварительно проверим случай, когда $\cos{2x} = 0$. Если $\cos{2x} = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2{2x} + \cos^2{2x} = 1$ следует, что $\sin^2{2x} = 1$. Подставив $\cos{2x} = 0$ в исходное уравнение, получим:$2\sin^2{2x} - 5\sin{2x} \cdot 0 + 2 \cdot 0^2 = 0$$2\sin^2{2x} = 0$$2 \cdot 1 = 0$, что является ложным равенством. Значит, $\cos{2x} \neq 0$, и мы можем делить на $\cos^2{2x}$.

Разделим уравнение на $\cos^2{2x}$:

$\frac{2\sin^2{2x}}{\cos^2{2x}} - \frac{5\sin{2x}\cos{2x}}{\cos^2{2x}} + \frac{2\cos^2{2x}}{\cos^2{2x}} = 0$

$2\tan^2{2x} - 5\tan{2x} + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan{2x}$. Сделаем замену $t = \tan{2x}$:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

Корни:

$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Вернемся к замене. Получаем два случая:

1) $\tan{2x} = \frac{1}{2}$

$2x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan{2x} = 2$

$2x = \arctan(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{2}\arctan(2) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3\sin^2{3x} + 10\sin{3x}\cos{3x} + 3\cos^2{3x} = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Убедимся, что $\cos{3x} \neq 0$. Если предположить, что $\cos{3x}=0$, то $\sin^2{3x}=1$. Подставляя в уравнение, получаем:

$3\sin^2{3x} + 10\sin{3x} \cdot 0 + 3 \cdot 0^2 = 0$

$3\sin^2{3x} = 0$

$3 \cdot 1 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos{3x} \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $\cos^2{3x}$.

Делим обе части уравнения на $\cos^2{3x}$:

$\frac{3\sin^2{3x}}{\cos^2{3x}} + \frac{10\sin{3x}\cos{3x}}{\cos^2{3x}} + \frac{3\cos^2{3x}}{\cos^2{3x}} = 0$

$3\tan^2{3x} + 10\tan{3x} + 3 = 0$

Сделаем замену $y = \tan{3x}$:

$3y^2 + 10y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

Корни:

$y_1 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

$y_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

1) $\tan{3x} = -3$

$3x = \arctan(-3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$3x = -\arctan(3) + \pi n$

$x = -\frac{1}{3}\arctan(3) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan{3x} = -\frac{1}{3}$

$3x = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$3x = -\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$

$x = -\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{1}{3}\arctan(3) + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.