Номер 18.19, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.19, страница 55.

18.19 Решите уравнение $\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \frac{1}{2}$ и найдите:

а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right];$ в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right).$

Сначала решим исходное уравнение. Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\cos(t) = a$ записывается как $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x - \frac{\pi}{3}$ и $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения и получаем совокупность уравнений:

$2x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) С положительным знаком:

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) С отрицательным знаком:

$2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = 2\pi n$

$x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Итак, мы получили две серии корней: $x_1 = \pi n$ и $x_2 = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Теперь найдем корни, удовлетворяющие заданным условиям.

а) наименьший положительный корень

Найдем наименьший положительный корень путем перебора целочисленных значений $n$.

Для серии $x = \pi n$: при $n=1$ получаем $x = \pi$. При $n=0$ корень $x=0$ не является положительным.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$: при $n=0$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$.

Сравниваем полученные положительные корни $\pi$ и $\frac{\pi}{3}$. Наименьшим из них является $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

б) корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$

Отберем корни для каждой серии, используя двойные неравенства.

Для серии $x = \pi n$:

$-\frac{\pi}{2} \le \pi n \le \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{1}{2} \le n \le \frac{3}{2}$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n=0$ и $n=1$.

При $n=0$, $x = 0$.

При $n=1$, $x = \pi$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} + \pi n \le \frac{3\pi}{2}$

Вычтем $\frac{\pi}{3}$: $-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \le \pi n \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3}$

$-\frac{5\pi}{6} \le \pi n \le \frac{7\pi}{6}$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{5}{6} \le n \le \frac{7}{6}$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n=0$ и $n=1$.

При $n=0$, $x = \frac{\pi}{3}$.

При $n=1$, $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.

Объединяя все найденные корни, получаем: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.

в) наибольший отрицательный корень

Найдем наибольший отрицательный корень, перебирая отрицательные целочисленные значения $n$.

Для серии $x = \pi n$: при $n=-1$ получаем $x = -\pi$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$: при $n=-1$ получаем $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.

Сравниваем полученные отрицательные корни $-\pi$ и $-\frac{2\pi}{3}$. Так как $-\frac{2\pi}{3} > -\pi$, наибольший отрицательный корень равен $-\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

г) корни, принадлежащие интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right)$

Отберем корни для каждой серии, используя строгие двойные неравенства.

Для серии $x = \pi n$:

$-\pi < \pi n < \frac{\pi}{2}$

Разделим все части на $\pi$: $-1 < n < \frac{1}{2}$.

Единственное целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию: $n=0$.

При $n=0$, $x = 0$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$:

$-\pi < \frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{\pi}{2}$

Вычтем $\frac{\pi}{3}$: $-\pi - \frac{\pi}{3} < \pi n < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}$

$-\frac{4\pi}{3} < \pi n < \frac{\pi}{6}$

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{4}{3} < n < \frac{1}{6}$.

Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому условию: $n=-1$ и $n=0$.

При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.

При $n=0$, $x = \frac{\pi}{3}$.

Объединяя все найденные корни, получаем: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$.