Номер 18.14, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.14, страница 54.

18.14 a) Найдите корни уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$.

б) Найдите корни уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$, принадлежащие отрезку $[-2\pi; 3\pi]$.

а)

Сначала решим уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$.

Общая формула для корней этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in Z$.

Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то общее решение выглядит так: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

Это общее решение можно представить в виде двух серий корней:

1. Для четных $n$ (пусть $n=2k$): $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
2. Для нечетных $n$ (пусть $n=2k+1$): $x_2 = -\frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$, с помощью двойных неравенств.

Для первой серии корней $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ составим неравенство:

$0 \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 4\pi$

Разделим все части на $\pi$: $0 \le \frac{1}{6} + 2k \le 4$.

Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей: $-\frac{1}{6} \le 2k \le 4 - \frac{1}{6} \Rightarrow -\frac{1}{6} \le 2k \le \frac{23}{6}$.

Разделим на 2: $-\frac{1}{12} \le k \le \frac{23}{12}$, или примерно $-0.083 \le k \le 1.917$.

Этому неравенству удовлетворяют целые значения $k=0$ и $k=1$.

При $k=0$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$.

При $k=1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi + 12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$.

Для второй серии корней $x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ составим неравенство:

$0 \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 4\pi$

Разделим все части на $\pi$: $0 \le \frac{5}{6} + 2k \le 4$.

Вычтем $\frac{5}{6}$ из всех частей: $-\frac{5}{6} \le 2k \le 4 - \frac{5}{6} \Rightarrow -\frac{5}{6} \le 2k \le \frac{19}{6}$.

Разделим на 2: $-\frac{5}{12} \le k \le \frac{19}{12}$, или примерно $-0.417 \le k \le 1.583$.

Этому неравенству удовлетворяют целые значения $k=0$ и $k=1$.

При $k=0$: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{5\pi}{6}$.

При $k=1$: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 1 = \frac{5\pi + 12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$.

Таким образом, на отрезке $[0; 4\pi]$ находятся четыре корня.

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}$.

б)

Сначала решим уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Общая формула для корней этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, то общее решение выглядит так: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$.

Это общее решение представляет собой две серии корней:

1. $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
2. $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $[-2\pi; 3\pi]$.

Для первой серии корней $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ составим неравенство:

$-2\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi$

Разделим все части на $\pi$: $-2 \le \frac{2}{3} + 2n \le 3$.

Вычтем $\frac{2}{3}$: $-2 - \frac{2}{3} \le 2n \le 3 - \frac{2}{3} \Rightarrow -\frac{8}{3} \le 2n \le \frac{7}{3}$.

Разделим на 2: $-\frac{4}{3} \le n \le \frac{7}{6}$, или примерно $-1.333 \le n \le 1.167$.

Этому неравенству удовлетворяют целые значения $n=-1, n=0, n=1$.

При $n=-1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(-1) = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$.

При $n=0$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{2\pi}{3}$.

При $n=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{2\pi + 6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$.

Для второй серии корней $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ составим неравенство:

$-2\pi \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi$

Разделим все части на $\pi$: $-2 \le -\frac{2}{3} + 2n \le 3$.

Прибавим $\frac{2}{3}$: $-2 + \frac{2}{3} \le 2n \le 3 + \frac{2}{3} \Rightarrow -\frac{4}{3} \le 2n \le \frac{11}{3}$.

Разделим на 2: $-\frac{2}{3} \le n \le \frac{11}{6}$, или примерно $-0.667 \le n \le 1.833$.

Этому неравенству удовлетворяют целые значения $n=0$ и $n=1$.

При $n=0$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{2\pi}{3}$.

При $n=1$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{-2\pi + 6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Объединим все найденные корни и расположим их в порядке возрастания.

Ответ: $-\frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.