Номер 18.16, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.16, страница 54.

18.16 a) $ \sin x = -\frac{1}{2} $, $[-4; 4];$

б) $ \cos x = 1 $, $[-6; 16].$

а) Требуется решить уравнение $ \sin x = -\frac{1}{2} $ и найти корни, принадлежащие отрезку $ [-4; 4] $.

Сначала найдем общее решение уравнения. Общее решение для $ \sin x = a $ можно записать в виде двух серий: $ x = \arcsin(a) + 2\pi k $ и $ x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = -\frac{1}{2} $, и $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.

Подставив это значение, получаем две серии решений:
1) $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $
2) $ x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $

Теперь произведем отбор корней, принадлежащих отрезку $ [-4; 4] $. Для этого будем перебирать целые значения $ k $ и вычислять $ x $. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.

Для первой серии $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $:
При $ k = 0 $: $ x = -\frac{\pi}{6} \approx -0,52 $. Так как $ -4 \le -0,52 \le 4 $, этот корень подходит.
При $ k = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \approx 5,76 $. $ 5,76 > 4 $, корень не подходит.
При $ k = -1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -6,81 $. $ -6,81 < -4 $, корень не подходит.

Для второй серии $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $:
При $ k = 0 $: $ x = \frac{7\pi}{6} \approx 3,67 $. Так как $ -4 \le 3,67 \le 4 $, этот корень подходит.
При $ k = -1 $: $ x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \approx -2,62 $. Так как $ -4 \le -2,62 \le 4 $, этот корень подходит.
При $ k = 1 $: $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9,95 $. $ 9,95 > 4 $, корень не подходит.

Таким образом, на заданном промежутке находятся три корня.

Ответ: $ -\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6} $.

б) Требуется решить уравнение $ \cos x = 1 $ и найти корни, принадлежащие отрезку $ [-6; 16] $.

Общее решение уравнения $ \cos x = 1 $ имеет вид $ x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти корни, принадлежащие отрезку $ [-6; 16] $, решим двойное неравенство относительно $ k $:
$ -6 \le 2\pi k \le 16 $

Разделим все части неравенства на $ 2\pi $:
$ \frac{-6}{2\pi} \le k \le \frac{16}{2\pi} $
$ -\frac{3}{\pi} \le k \le \frac{8}{\pi} $

Оценим границы, используя приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $:
$ -\frac{3}{3,14} \approx -0,955 $
$ \frac{8}{3,14} \approx 2,547 $

Следовательно, мы ищем целые значения $ k $ в промежутке $ [-0,955; 2,547] $. Этому условию удовлетворяют целые числа $ k=0, k=1, k=2 $.

Найдем соответствующие значения $ x $ для каждого $ k $:
При $ k = 0 $: $ x = 2\pi \cdot 0 = 0 $.
При $ k = 1 $: $ x = 2\pi \cdot 1 = 2\pi $.
При $ k = 2 $: $ x = 2\pi \cdot 2 = 4\pi $.

Проверим, что все найденные значения ($ 0 $; $ 2\pi \approx 6,28 $; $ 4\pi \approx 12,57 $) принадлежат отрезку $ [-6; 16] $, что действительно так.

Ответ: $ 0; 2\pi; 4\pi $.