Номер 18.16, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 3. Тригонометрические уравнения. §18. Решение тригонометрических уравнений - номер 18.16, страница 54.

Условие.

18.16 a) $\sin x = -\frac{1}{2}$, $[-4; 4];$

б) $\cos x = 1$, $[-6; 16].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Требуется решить уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ и найти корни, принадлежащие отрезку $[-4; 4]$.

Сначала найдем общее решение уравнения. Общее решение для $\sin x = a$ можно записать в виде двух серий: $x = \arcsin(a) + 2\pi k$ и $x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\frac{1}{2}$, и $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставив это значение, получаем две серии решений:
1) $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
2) $x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$

Теперь произведем отбор корней, принадлежащих отрезку $[-4; 4]$. Для этого будем перебирать целые значения $k$ и вычислять $x$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Для первой серии $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$:
При $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{6} \approx -0,52$. Так как $-4 \le -0,52 \le 4$, этот корень подходит.
При $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \approx 5,76$. $5,76 > 4$, корень не подходит.
При $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -6,81$. $-6,81 < -4$, корень не подходит.

Для второй серии $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$:
При $k = 0$: $x = \frac{7\pi}{6} \approx 3,67$. Так как $-4 \le 3,67 \le 4$, этот корень подходит.
При $k = -1$: $x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \approx -2,62$. Так как $-4 \le -2,62 \le 4$, этот корень подходит.
При $k = 1$: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9,95$. $9,95 > 4$, корень не подходит.

Таким образом, на заданном промежутке находятся три корня.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}$.

б) Требуется решить уравнение $\cos x = 1$ и найти корни, принадлежащие отрезку $[-6; 16]$.

Общее решение уравнения $\cos x = 1$ имеет вид $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти корни, принадлежащие отрезку $[-6; 16]$, решим двойное неравенство относительно $k$:
$-6 \le 2\pi k \le 16$

Разделим все части неравенства на $2\pi$:
$\frac{-6}{2\pi} \le k \le \frac{16}{2\pi}$
$-\frac{3}{\pi} \le k \le \frac{8}{\pi}$

Оценим границы, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$:
$-\frac{3}{3,14} \approx -0,955$
$\frac{8}{3,14} \approx 2,547$

Следовательно, мы ищем целые значения $k$ в промежутке $[-0,955; 2,547]$. Этому условию удовлетворяют целые числа $k=0, k=1, k=2$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $k$:
При $k = 0$: $x = 2\pi \cdot 0 = 0$.
При $k = 1$: $x = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$.
При $k = 2$: $x = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

Проверим, что все найденные значения ($0$; $2\pi \approx 6,28$; $4\pi \approx 12,57$) принадлежат отрезку $[-6; 16]$, что действительно так.

Ответ: $0; 2\pi; 4\pi$.