Номер 18.11, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.11, страница 54.

18.11 а) $\sin^2 x + \sin x \cos x = 0;$

Б) $\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0;$

В) $\sin^2 x = 3 \sin x \cos x;$

Г) $\sqrt{3} \cos^2 x = \sin x \cos x.$

а) $\sin^2 x + \sin x \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность двух уравнений:

1) $\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть: $\sin x = -\cos x$.

Заметим, что в этом уравнении $\cos x \neq 0$, так как если бы $\cos x = 0$, то $\sin x$ должен был бы быть равен $\pm 1$, и равенство $\pm 1 = 0$ не выполнялось бы. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -1$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sqrt{3} \sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть: $\sqrt{3} \sin x = -\cos x$.

Аналогично предыдущему пункту, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos x$:

$\sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin^2 x = 3 \sin x \cos x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\sin^2 x - 3 \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x - 3 \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x - 3 \cos x = 0$

Перенесем $3 \cos x$ в правую часть: $\sin x = 3 \cos x$.

Заметим, что $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = 3$

$\tan x = 3$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{3} \cos^2 x = \sin x \cos x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\sqrt{3} \cos^2 x - \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sqrt{3} \cos x - \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\cos x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 0$

Перенесем $\sin x$ в правую часть: $\sqrt{3} \cos x = \sin x$.

Заметим, что $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos x$:

$\sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x}$

$\tan x = \sqrt{3}$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.