Номер 18.8, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.8, страница 53.

18.8 a) $2\sin^2 x + 3\cos x = 0;$

б) $8\sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0;$

В) $5\cos^2 x + 6\sin x - 6 = 0;$

Г) $4\sin 3x + \cos^2 3x = 4.$

а) $2\sin^2 x + 3\cos x = 0$

Чтобы решить это уравнение, приведем его к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Так как область значений функции косинус от -1 до 1, то $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни квадратного уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную замену. Корень $t_1 = 2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому уравнение $\cos x = 2$ не имеет решений.

Для второго корня $t_2 = -\frac{1}{2}$ имеем:

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $8\sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество для угла $2x$: $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$.

Подставим в уравнение:

$8(1 - \cos^2 2x) + \cos 2x + 1 = 0$

$8 - 8\cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$

$-8\cos^2 2x + \cos 2x + 9 = 0$

$8\cos^2 2x - \cos 2x - 9 = 0$

Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$.

$8t^2 - t - 9 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$

$t_2 = \frac{1 - 17}{16} = \frac{-16}{16} = -1$

Корень $t_1 = \frac{9}{8}$ не подходит, так как $\frac{9}{8} > 1$.

Рассмотрим второй корень $t_2 = -1$:

$\cos 2x = -1$

Это частный случай, решения которого: $2x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $5\cos^2 x + 6\sin x - 6 = 0$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к функции синуса.

$5(1 - \sin^2 x) + 6\sin x - 6 = 0$

$5 - 5\sin^2 x + 6\sin x - 6 = 0$

$-5\sin^2 x + 6\sin x - 1 = 0$

$5\sin^2 x - 6\sin x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$5t^2 - 6t + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 = 4^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$t_2 = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Выполним обратную замену для каждого корня.

1) $\sin x = 1$. Это частный случай, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = \frac{1}{5}$. Общее решение: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{5}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{5}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $4\sin 3x + \cos^2 3x = 4$

Используем тождество $\cos^2 3x = 1 - \sin^2 3x$.

$4\sin 3x + 1 - \sin^2 3x = 4$

$-\sin^2 3x + 4\sin 3x - 3 = 0$

$\sin^2 3x - 4\sin 3x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \sin 3x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 = 2^2$.

$t_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3$

$t_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$

Корень $t_1 = 3$ не подходит, так как $3 > 1$.

Рассмотрим второй корень $t_2 = 1$:

$\sin 3x = 1$

Это частный случай, решение которого: $3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.