Номер 18.3, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.3, страница 53.

18.3 a) $2 \cos \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$;

в) $2 \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$;

б) $\sqrt{3} \operatorname{tg} \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 3$;

г) $\sin \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$.

а) $2 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить косинус:

$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение: $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение арккосинуса $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Теперь выразим $x$. Для этого перенесем $-\frac{\pi}{6}$ в правую часть:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Рассмотрим два возможных случая:

1. Используем знак "+":

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = 2 \cdot \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$

2. Используем знак "-":

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = 0 + 2\pi n = 2\pi n$

Умножим обе части на 2:

$x = 4\pi n$

Таким образом, мы получили две серии решений.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \ x = 4\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3} \tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 3$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$\tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Упростим правую часть, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Получаем уравнение:

$\tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$

Общее решение уравнения $\tg(t) = a$ имеет вид $t = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}$ и $a = \sqrt{3}$. Значение арктангенса $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Выразим $x$:

$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi - \pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Умножим обе части на 3:

$x = 3 \cdot \left(\frac{\pi}{6} + \pi n\right) = \frac{3\pi}{6} + 3\pi n = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение уравнения $\sin(t) = a$ можно представить в виде совокупности двух серий: $t = \arcsin(a) + 2\pi k$ и $t = \pi - \arcsin(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 3x - \frac{\pi}{4}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арксинуса $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

Запишем совокупность для нашего уравнения:

$\left[ \begin{gathered} 3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \\ 3x - \frac{\pi}{4} = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k \end{gathered} \right.$

Решим каждое уравнение отдельно.

1. Первое уравнение:

$3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$3x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{3}$

2. Второе уравнение:

$3x - \frac{\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$3x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$

$3x = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{6\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{1}{3} \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$

Объединяем две серии решений.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}, \ x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}, \ k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = -1$

Это частный случай уравнения $\sin(t) = a$. Решение уравнения $\sin(t)=-1$ имеет вид $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$.

Приравниваем аргумент синуса к решению:

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Теперь выразим $x$:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi - 3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Умножим обе части на 2:

$x = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$

Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$.