Номер 17.15, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.15, страница 52.

17.15 Вычислите:

а) $ \sin \left( \text{arcctg} \frac{3}{4} \right) $;

б) $ \cos \left( \text{arcctg} \frac{12}{5} \right) $;

в) $ \sin \left( \text{arcctg} \left( -\frac{4}{3} \right) \right) $;

г) $ \cos \left( \text{arcctg} \left( -\frac{5}{12} \right) \right) $.

а) $ \sin\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4}\right) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg}\frac{3}{4} $. По определению арктангенса, это означает, что $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $.

Поскольку $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4} > 0 $, угол $ \alpha $ лежит в первой четверти: $ \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) $. В этой четверти синус положителен ($ \sin\alpha > 0 $).

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $ 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $.

Сначала найдем котангенс: $ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3} $.

Теперь подставим значение в тождество:

$ \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{9+16}{9} = \frac{25}{9} $

Отсюда следует, что $ \sin^2\alpha = \frac{9}{25} $, а значит $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $.

Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, выбираем положительное значение: $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $.

Ответ: $ \frac{3}{5} $

б) $ \cos\left(\operatorname{arcctg}\frac{12}{5}\right) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arcctg}\frac{12}{5} $. По определению арккотангенса, $ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{12}{5} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ (0; \pi) $.

Поскольку $ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{12}{5} > 0 $, угол $ \alpha $ лежит в первой четверти: $ \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) $. В этой четверти косинус положителен ($ \cos\alpha > 0 $).

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $ 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $.

Найдем тангенс: $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12} $.

Подставим значение в тождество:

$ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \left(\frac{5}{12}\right)^2 = 1 + \frac{25}{144} = \frac{144+25}{144} = \frac{169}{144} $

Отсюда $ \cos^2\alpha = \frac{144}{169} $, а значит $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $.

Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, выбираем положительное значение: $ \cos\alpha = \frac{12}{13} $.

Ответ: $ \frac{12}{13} $

в) $ \sin\left(\operatorname{arcctg}\left(-\frac{4}{3}\right)\right) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arcctg}\left(-\frac{4}{3}\right) $. По определению арккотангенса, $ \operatorname{ctg}\alpha = -\frac{4}{3} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ (0; \pi) $.

Поскольку $ \operatorname{ctg}\alpha < 0 $, угол $ \alpha $ лежит во второй четверти: $ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) $. В этой четверти синус положителен ($ \sin\alpha > 0 $).

Воспользуемся тождеством $ 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $.

$ \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{9+16}{9} = \frac{25}{9} $

Отсюда $ \sin^2\alpha = \frac{9}{25} $, а значит $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $.

Так как $ \alpha $ находится во второй четверти, выбираем положительное значение: $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $.

Ответ: $ \frac{3}{5} $

г) $ \cos\left(\operatorname{arctg}\left(-\frac{5}{12}\right)\right) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg}\left(-\frac{5}{12}\right) $. По определению арктангенса, $ \operatorname{tg}\alpha = -\frac{5}{12} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $.

Поскольку $ \operatorname{tg}\alpha < 0 $, угол $ \alpha $ лежит в четвертой четверти: $ \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right) $. В этой четверти косинус положителен ($ \cos\alpha > 0 $).

Воспользуемся тождеством $ 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $.

$ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \left(-\frac{5}{12}\right)^2 = 1 + \frac{25}{144} = \frac{144+25}{144} = \frac{169}{144} $

Отсюда $ \cos^2\alpha = \frac{144}{169} $, а значит $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $.

Так как $ \alpha $ находится в четвертой четверти, выбираем положительное значение: $ \cos\alpha = \frac{12}{13} $.

Ответ: $ \frac{12}{13} $