Номер 17.9, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.9, страница 51.

17.9 a) $tgx = 0;$

б) $tgx = -2;$

в) $tgx = -3;$

г) $tgx = \frac{1}{2}.$

а) Дано уравнение $tg x = 0$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общая формула для решения уравнения $tg x = a$ имеет вид $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = 0$. Подставим это значение в общую формулу:
$x = \operatorname{arctg}(0) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Арктангенс нуля равен нулю, так как тангенс угла в 0 радиан равен 0. То есть, $\operatorname{arctg}(0) = 0$.
Следовательно, решение уравнения:
$x = 0 + \pi n = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $tg x = -2$.
Воспользуемся общей формулой для решения уравнения $tg x = a$: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -2$.
$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Арктангенс является нечетной функцией, то есть $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.
Применяя это свойство, получаем:
$x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Так как 2 не является табличным значением тангенса, ответ оставляем в таком виде.
Ответ: $x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $tg x = -3$.
Используем общую формулу решения $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -3$.
$x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство нечетности арктангенса, $\operatorname{arctg}(-3) = -\operatorname{arctg}(3)$.
Таким образом, решение уравнения:
$x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $tg x = \frac{1}{2}$.
Снова применяем общую формулу $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $a = \frac{1}{2}$.
$x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Значение $\frac{1}{2}$ не является табличным для тангенса, поэтому ответ остается в такой форме.
Ответ: $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.