Номер 17.5, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.5, страница 51.

17.5 a) $2 \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arctg} (-1) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2};$

б) $3 \arcsin \frac{1}{2} + 4 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right);$

в) $\operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) + \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin 1;$

г) $\arcsin (-1) - \frac{3}{2} \arccos \frac{1}{2} + 3 \operatorname{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right).$

а) $2 \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \operatorname{arctg}(-1) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения данного выражения необходимо вычислить значение каждого слагаемого по отдельности.

1. Найдём значение $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Арксинус является нечетной функцией, поэтому $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Значение $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

2. Найдём значение $\operatorname{arctg}(-1)$.
Арктангенс также является нечетной функцией: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$.
Значение $\operatorname{arctg}(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

3. Найдём значение $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Значение $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ равно $\frac{\pi}{4}$, так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [0, \pi]$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$2 \cdot (-\frac{\pi}{3}) + (-\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$.

б) $3 \arcsin\frac{1}{2} + 4 \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$

Вычислим значение каждого члена выражения.

1. Найдём значение $\arcsin(\frac{1}{2})$.
$\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

2. Найдём значение $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

3. Найдём значение $\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Арктангенс — нечетная функция: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$.
$\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставим значения в выражение:
$3 \cdot \frac{\pi}{6} + 4 \cdot \frac{3\pi}{4} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} + 3\pi + \frac{\pi}{6}$.
Приведём к общему знаменателю 6:
$\frac{3\pi}{6} + \frac{18\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{(3+18+1)\pi}{6} = \frac{22\pi}{6} = \frac{11\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{11\pi}{3}$.

в) $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin 1$

Вычислим каждое слагаемое.

1. Найдём значение $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$.
Так как арктангенс — нечетная функция, $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3})$.
$\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

2. Найдём значение $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

3. Найдём значение $\arcsin(1)$.
$\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Сложим полученные значения:
$-\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2}$.
Приведём к общему знаменателю 6:
$-\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{(-2+5+3)\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

г) $\arcsin(-1) - \frac{3}{2}\arccos\frac{1}{2} + 3 \operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$

Вычислим значение каждого члена выражения.

1. Найдём значение $\arcsin(-1)$.
$\arcsin(-1) = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$.

2. Найдём значение $\arccos(\frac{1}{2})$.
$\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

3. Найдём значение $\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Используем формулу $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$.
$\operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$, так как $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставим значения в исходное выражение:
$-\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 2\pi = -\pi + 2\pi = \pi$.

Ответ: $\pi$.