Номер 17.2, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.2, страница 50.

17.2 a) $\operatorname{arctg}(-1)$;

Б) $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$;

В) $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$;

Г) $\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

а) Арктангенсом числа $a$, который обозначается как $\text{arctg}(a)$, называется такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Таким образом, $\text{arctg}(a) = \alpha$ эквивалентно двум условиям: $\text{tg}(\alpha) = a$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Для вычисления арктангенса отрицательного числа используется свойство нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1)$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Поскольку угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит главному промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то по определению $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляя это значение, получаем:
$\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

б) Для нахождения значения $\text{arctg}(-\sqrt{3})$ воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.
$\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3})$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, следовательно, $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Тогда искомое значение равно:
$\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

в) Для нахождения значения $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.
$\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, следовательно, $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляя найденное значение, получаем:
$\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

г) Для нахождения значения $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}})$ воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.
$\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}})$.
Значение $\frac{1}{\sqrt{3}}$ равно значению $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (если избавиться от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$).
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, следовательно, $\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Таким образом, получаем:
$\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$