Номер 16.17, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.17, страница 49.

Решите неравенство:

16.17 a) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2};$

б) $\sin t > -\frac{1}{2};$

в) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2};$

г) $\sin t \le -\frac{1}{2}.$

а) Чтобы решить неравенство $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$, сначала рассмотрим уравнение $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решениями этого уравнения на единичной окружности являются углы, ордината (координата y) которых равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Эти углы равны $t_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Неравенство $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для тех углов $t$, ординаты которых на единичной окружности больше, чем $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной выше прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть для углов между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Учитывая периодичность функции синус (период равен $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства, к границам которого добавлено $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, решение: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\sin t > -\frac{1}{2}$. Сначала найдем корни уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$.

На единичной окружности это углы $t_1 = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{7\pi}{6}$.

Неравенство $\sin t > -\frac{1}{2}$ выполняется для углов, ординаты которых на единичной окружности больше $-\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной выше прямой $y = -\frac{1}{2}$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что это дуга от точки $-\frac{\pi}{6}$ до точки $\frac{7\pi}{6}$.

С учетом периода функции синус, равного $2\pi$, общее решение имеет вид: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Чтобы решить неравенство $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$, воспользуемся решением пункта а). Уравнение $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет корни $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{2\pi}{3}$ (на одном обороте).

Нас интересуют углы, для которых ордината на единичной окружности меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге окружности, расположенной ниже прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Эта дуга начинается от угла $\frac{2\pi}{3}$ и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в угле $\frac{\pi}{3}$ на следующем обороте, то есть в угле $\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Таким образом, получаем интервал $\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right)$.

Учитывая периодичность, добавляем $2\pi k$ к границам интервала.

Решение: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Можно записать это и в другом виде, используя отрицательный угол: $\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$. Тогда интервал будет $\left(-\frac{4\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right)$.

Ответ: $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\sin t \le -\frac{1}{2}$. Сначала найдем решения уравнения $\sin t = -\frac{1}{2}$.

Как и в пункте б), это углы $t_1 = -\frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \frac{7\pi}{6}$. Также можно представить $t_2$ в виде отрицательного угла, вычтя $2\pi$: $\frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}$.

Неравенство $\sin t \le -\frac{1}{2}$ выполняется для углов, ординаты которых на единичной окружности меньше или равны $-\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной на и ниже прямой $y = -\frac{1}{2}$.

На промежутке от $-\pi$ до $\pi$ это дуга от $-\frac{5\pi}{6}$ до $-\frac{\pi}{6}$ включительно. Таким образом, получаем отрезок $\left[-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}\right]$.

Добавляя период $2\pi k$, получаем общее решение.

Решение: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le t \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le t \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.