Номер 16.14, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.14, страница 49.

16.14 а) $\cos x = \frac{1}{3}, x \in (1; 6);$

б) $\cos x = -0.4, x \in (3; 11)?$

а) Требуется найти корни уравнения $ \cos x = \frac{1}{3} $ на интервале $ x \in (1; 6) $.

Общее решение уравнения $ \cos x = a $ имеет вид $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае общее решение: $ x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k $.

Для решения задачи оценим значения $ \pi $ и $ \arccos(\frac{1}{3}) $.
$ \pi \approx 3,14 $, следовательно, $ 2\pi \approx 6,28 $.
Поскольку $ 0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} $, то $ \arccos(0) > \arccos(\frac{1}{3}) > \arccos(\frac{1}{2}) $, то есть $ \frac{\pi}{2} > \arccos(\frac{1}{3}) > \frac{\pi}{3} $.
Приближенно $ 1,57 > \arccos(\frac{1}{3}) > 1,05 $. Таким образом, $ \arccos(\frac{1}{3}) $ находится в заданном интервале $ (1; 6) $.

Рассмотрим две серии корней:

1. Первая серия: $ x = \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k $.
При $ k = 0 $, $ x_1 = \arccos(\frac{1}{3}) $. Так как $ 1 < \arccos(\frac{1}{3}) < 2 $, этот корень принадлежит интервалу $ (1; 6) $.
При $ k = 1 $, $ x = \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi \approx 1,23 + 6,28 = 7,51 $, что больше 6.
При $ k = -1 $, $ x = \arccos(\frac{1}{3}) - 2\pi \approx 1,23 - 6,28 = -5,05 $, что меньше 1.

2. Вторая серия: $ x = -\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k $.
При $ k = 0 $, $ x = -\arccos(\frac{1}{3}) \approx -1,23 $, что меньше 1.
При $ k = 1 $, $ x_2 = -\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi = 2\pi - \arccos(\frac{1}{3}) \approx 6,28 - 1,23 = 5,05 $. Этот корень принадлежит интервалу $ (1; 6) $.
При $ k = 2 $, $ x = -\arccos(\frac{1}{3}) + 4\pi \approx -1,23 + 12,56 = 11,33 $, что больше 6.

Таким образом, на заданном интервале есть два корня.

Ответ: $ \arccos(\frac{1}{3}); 2\pi - \arccos(\frac{1}{3}) $.

б) Требуется найти количество корней уравнения $ \cos x = -0,4 $ на интервале $ x \in (3; 11) $.

Общее решение уравнения: $ x = \pm \arccos(-0,4) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Используем свойство арккосинуса: $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $.
Тогда $ \arccos(-0,4) = \pi - \arccos(0,4) $.
Оценим значение $ \arccos(-0,4) $. Поскольку $ -1 < -0,4 < 0 $, то $ \pi > \arccos(-0,4) > \frac{\pi}{2} $.
Приближенно: $ 3,14 > \arccos(-0,4) > 1,57 $. Конкретнее, $ \arccos(-0,4) \approx 1,98 $.

Рассмотрим две серии корней и отберем те, что попадают в интервал $ (3; 11) $.

1. Первая серия: $ x = \arccos(-0,4) + 2\pi k $.
Подставим $ x $ в неравенство $ 3 < x < 11 $:
$ 3 < \arccos(-0,4) + 2\pi k < 11 $
$ 3 - \arccos(-0,4) < 2\pi k < 11 - \arccos(-0,4) $
Подставим приближенное значение $ \arccos(-0,4) \approx 1,98 $ и $ 2\pi \approx 6,28 $:
$ 3 - 1,98 < 6,28 k < 11 - 1,98 $
$ 1,02 < 6,28 k < 9,02 $
$ \frac{1,02}{6,28} < k < \frac{9,02}{6,28} $
$ 0,16 < k < 1,43 $
Единственное целое значение $ k $ в этом диапазоне — это $ k=1 $. Получаем один корень: $ x_1 = \arccos(-0,4) + 2\pi $.

2. Вторая серия: $ x = -\arccos(-0,4) + 2\pi k $.
Подставим $ x $ в неравенство $ 3 < x < 11 $:
$ 3 < -\arccos(-0,4) + 2\pi k < 11 $
$ 3 + \arccos(-0,4) < 2\pi k < 11 + \arccos(-0,4) $
Подставим приближенные значения:
$ 3 + 1,98 < 6,28 k < 11 + 1,98 $
$ 4,98 < 6,28 k < 12,98 $
$ \frac{4,98}{6,28} < k < \frac{12,98}{6,28} $
$ 0,79 < k < 2,06 $
Целые значения $ k $ в этом диапазоне — это $ k=1 $ и $ k=2 $. Получаем еще два корня: $ x_2 = -\arccos(-0,4) + 2\pi $ и $ x_3 = -\arccos(-0,4) + 4\pi $.

Всего найдено $ 1 + 2 = 3 $ корня.

Ответ: 3.