Номер 16.9, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.9, страница 48.

16.9 а) $ \sin t = -1; $

б) $ \sin t = - \frac{\sqrt{2}}{2}; $

в) $ \sin t = - \frac{1}{2}; $

г) $ \sin t = - \frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) Дано уравнение $sin t = -1$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. На единичной окружности синус (ордината точки) равен $-1$ в самой нижней точке, которая соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$.
Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, общее решение уравнения находится путем добавления к частному решению целого числа периодов.
Формула общего решения:
$t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целое число).
Ответ: $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для решения уравнения вида $sin t = a$, где $|a| \le 1$, используется общая формула:
$t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сначала найдем значение арксинуса: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$, получаем:
$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Теперь подставим это значение в общую формулу:
$t = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эту запись можно упростить:
$t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $sin t = -\frac{1}{2}$.
Используем общую формулу для решения уравнения $sin t = a$:
$t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{1}{2}$.
Находим арксинус:
$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в общую формулу:
$t = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Упрощаем выражение:
$t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Применяем общую формулу решения для синуса $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В этом уравнении $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычисляем арксинус:
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем в формулу общего решения:
$t = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Упрощаем запись:
$t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.