Номер 16.6, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.6, страница 48.

16.6 Найдите область допустимых значений выражения:

a) $ \arcsin x; $

б) $ \arcsin (5 - 2x); $

в) $ \arcsin \frac{x}{2}; $

г) $ \arcsin (x^2 - 3). $

Область допустимых значений (ОДЗ) для выражения с арксинусом $\arcsin(f(x))$ определяется условием, что аргумент функции $f(x)$ должен находиться в пределах отрезка $[-1; 1]$. То есть, необходимо решить неравенство: $-1 \le f(x) \le 1$.

а) $\arcsin x$

Для данного выражения аргументом является $x$. По определению функции арксинуса, область ее определения задается неравенством:

$-1 \le x \le 1$

Это и есть область допустимых значений.

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

б) $\arcsin(5 - 2x)$

Аргумент выражения, $(5 - 2x)$, должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$. Составим и решим двойное неравенство:

$-1 \le 5 - 2x \le 1$

Вычтем 5 из всех частей неравенства:

$-1 - 5 \le -2x \le 1 - 5$

$-6 \le -2x \le -4$

Разделим все части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-6}{-2} \ge x \ge \frac{-4}{-2}$

$3 \ge x \ge 2$

Запишем это в более привычном виде:

$2 \le x \le 3$

Ответ: $x \in [2; 3]$.

в) $\arcsin \frac{x}{2}$

Аргумент $\frac{x}{2}$ должен удовлетворять условию:

$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$

Умножим все части неравенства на 2 (знаки неравенства сохраняются, так как 2 > 0):

$-1 \cdot 2 \le x \le 1 \cdot 2$

$-2 \le x \le 2$

Ответ: $x \in [-2; 2]$.

г) $\arcsin(x^2 - 3)$

Аргумент $(x^2 - 3)$ должен находиться в промежутке $[-1; 1]$. Запишем неравенство:

$-1 \le x^2 - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 \le x^2 \le 1 + 3$

$2 \le x^2 \le 4$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 \ge 2 \\ x^2 \le 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 \ge 2$. Его решениями являются $x \le -\sqrt{2}$ или $x \ge \sqrt{2}$. В виде множества: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 \le 4$. Его решением является двойное неравенство $-\sqrt{4} \le x \le \sqrt{4}$, то есть $-2 \le x \le 2$. В виде множества: $x \in [-2; 2]$.

Найдем пересечение решений этих двух систем. Это множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. На числовой прямой это будет пересечение отрезка $[-2; 2]$ и объединения лучей $(-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; \infty)$.

В результате получаем два отрезка: $[-2; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.